必考点03 勾股定理及应用-【对点变式题】2021-2022学年八年级数学下学期期中期末必考题精准练（人教版）

2021-2022学年八年级数学下学期期中期末必考题精准练 必考点03 勾股定理及应用 ●题型一 利用勾股定理求直角三角形的边长 ◎◎已知两边长，求第三边的长◎◎ 【例题1】（2021春•漳平市月考）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b． （1）已知a＝7，b＝24，求c； （2）若c＝，b＝5，求a． 【分析】（1）利用勾股定理计算c＝；（2）利用勾股定理计算a＝． 【解答】（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°， 由勾股定理得： c＝＝＝25； （2）在Rt△ABC中， 由勾股定理得： a＝＝＝＝4． 【例题2】（2021秋•龙泉市期末）若直角三角形的两边长分别是5和12，则它的斜边长是（　　） A．13 B．13或 C． D．12或13 【答案】D． 【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【解答】解：当12是斜边时，它的斜边长是12； 当12是直角边时，它的斜边长＝＝13； 故它的斜边长是：12或13． 故选：D． ◎◎已知直角三角形的一边长和另两边长的关系，求另两边长◎◎ 【例题3】在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．若a：c＝3：5，b＝32， 则a= ，c= ． 【答案】24,40； 【分析】设a＝3x，则c＝5x，再根据勾股定理求出x的值，进而得出结论． 【解答】设a＝3x，则c＝5x， ∵a2+b2＝c2，即（3x）2+322＝（5x）2，解得x＝8， ∴3x＝24，5x＝40，即a＝24，c＝40． 【解题技巧提炼】 1、运用勾股定理求直角三角形的边长的步骤： 一分，即分清哪条边是斜边，哪条边是直角边；二代，将已知边长代入a2+b2＝c2（c为斜边）； 三化简求值； 2、若已知两边可能都是直角边，也可能是直角边与斜边，则应分类讨论思想分两种情况分别计算. 3、已知直角三角形的一边长和另两边长的关系，求另两边长的方法：先根据两边关系设未知数，再根据勾股定理列方程求未知数的值，即可求出未知两边的长. ●题型二 勾股定理的证明 【例题4】（2021秋•西峡县期末）如图，在四边形ABDE中，AB∥DE，AB⊥BD，点C是边BD上一点，BC＝DE＝a，CD＝AB＝b，AC＝CE＝c．下列结论：①△ABC≌△CDE；②∠ACE＝90°；③四边形ABDE的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A． 【考点】勾股定理的证明；全等三角形的判定与性质； 【分析】证明△ABC≌△CDE（SAS），由全等三角形的性质可得出∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠E．由图形的面积可得出③④⑤正确． 【解答】解：∵AB∥DE，AB⊥BD， ∴DE⊥BD， ∴∠B＝∠D＝90°． 在△ABC和△CDE中， ， ∴△ABC≌△CDE（SAS）， ∴∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠E． ∵∠A+∠ACB＝90°， ∴∠DCE+∠ACB＝90°． ∵∠DCE+∠ACB+∠ACE＝180°， ∴∠ACE＝90°， 故①②正确； ∵AB∥DE，AB⊥BD， ∴四边形ABDE的面积是； 故③正确； ∵梯形ABDE的面积﹣直角三角形ACE的面积＝两个直角三角形的面积， ∴ab， ∴a2+b2＝c2． 故③④⑤都正确． 故选：A． 【解题技巧提炼】 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． ●题型三 构造直角三角形求线段的长 【例题5】如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10，求BC的长． 【分析】过A点作AD垂直BC于D点．因为BC＝CD+BD，可先由∠C＝60°，AD⊥BC，AC＝10，求得AD的长，进而在△ADB中根据勾股定理可求得BD的长．即可求BC的长． 【解答】解：如图过A点作AD⊥BC于D点． 在Rt△ACD中，AC＝10，∠C＝60°， ∴CD＝AC＝5，AD＝5， ∵AB＝14， ∴BD＝＝11， ∴BC＝CD+BD＝16． 【解题技巧提炼】 利用勾股定理求非直角三角形中的线段的长的方法：作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形， 然后利用勾股定理并结合已知条件，采用推理或列方程的方法解决问题. ●题型四 利用勾股定理作长为的线段 【例题6】（2021秋•嘉兴期末）如图，正方形ABCD的顶点A，D在数轴上，且点A表示的数为﹣1，点