专题07特殊的平行四边形（重难点突破）-【练好重点题】2021-2022学年八年级数学下学期综合训练卷（人教版）

专题07 特殊的平行四边形 重点 矩形的性质与判定；菱形的性质与判定；正方形呃性质与判定 难点 利用矩形的性质进行证明和计算；矩形判定定理的证明及运用；正方形的性质、判定的应用方法 易错 对矩形的判定方法的理解 一、矩形 （一）矩形的性质 1．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，即：矩形＝平行四边形＋一个内角是直角． 2．矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分． （二）矩形的判定 1．定义法； 2．对角线相等的平行四边形是矩形； 3．对角线平分且相等的四边形是矩形； 4．有三个角是直角的四边形是矩形． （三）直角三角形斜边中线的性质 1．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 2．直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形，这两个等腰三角形的面积相等； 3．在直角三角形中，如果遇到斜边的中点，可以考虑利用此性质，注意直角边上的中线不具备这一性质． （四）矩形中的折叠问题 矩形折叠问题中，折叠前后的两个图形对应边相等，通常建立模型利用勾股定理进行求解． 【例1】如图，矩形的对角线交于点O，平分交于点E，，则的大小是（       ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】C 【解析】解：∵矩形的对角线交于点O， ∴DO=BO=CO=AO，∠ADC=∠DAB=90°，DC∥AB， ∵平分， ∴∠ADE=∠CDE==∠DEA， ∴AD=AE， ∵， ∴∠ADO=∠ADE+∠EDO=45°+15°=60°， ∴△ADO为等边三角形， ∴AO=AD=AE，∠DAO=60°， ∴∠OAE=∠DAB-∠DAO=90°-60°=30°， ∴． 故选择C． 【例2】下列命题为真命题的是(     ) A．对角线互相垂直的四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．四条边都相等的四边形是矩形 D．四个角都相等的四边形是矩形 【答案】D 【解析】A、对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故错误，是假命题； B、对角线相等的平行四边形才是矩形，故错误，是假命题； C、四条边相等的四边形是菱形，故错误，是假命题； D、四个角相等的四边形是矩形，正确，是真命题； 故选：D． 【例3】如图，在中，，点，分别是边，的中点，延长至，使，若，则的长是（     ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【解析】解：在中，，点是边的中点，， ∴， 点，分别是边，的中点， ，， ， ∴， 四边形为平行四边形， ， 故选：C 【例4】如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=60°，则∠AED′=(       ） A．50° B．55° C．60° D．65° 【答案】C 【解析】解：由折叠知∠D′EF=∠DEF， ∵四边形ABCD为矩形， ∴， ∴∠EFB=∠DEF， ∴∠D′EF=∠DEF=∠EFB=60°， ∴∠AED′=180°−2∠D′EF =180°−60°×2=60°． 故选：C． 二、菱形 （一）菱形的性质及应用 1．菱形具有平行四边形的一切性质． 2．菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． （二）菱形的面积 菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半． （三）菱形的判定 菱形四种判定方法中，两种是以平行四边形为基础的，另两种是以四边形为基础的． 【例5】如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BCD＝50°，则∠OED的度数是（　　） A．35° B．30° C．25° D．20° 【答案】C 【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=50°， ∴O为BD中点，∠DBE=∠ABC=65°． ∵DE⊥BC， ∴在Rt△BDE中，OE=OB=OD， ∴∠OEB=∠OBE=65°． ∴∠OED=90°-65°=25°． 故选：C． 【例6】如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是（　　） A．10 B．7.5 C．5 D．2.5 【答案】D 【解析】解：∵菱形ABCD的对角线的长分别为2和5， ∴菱形ABCD的面积， ∴， ∵，， ∴四边形PEAF是平行四边形， ∴， ∴阴影部分的面积， 故选：D． 【例7】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD、BC分别于点O、E，若EC=3，CD=4，则BO的长为（          ） A．4 B．3 C．2 D．3 【答案】C 【解析】解：连接DE． 在直角三角形CDE中，EC=3，CD=4，根据勾股定理，得DE=5． ∵AB=AD，