第14讲 复数及其四则运算（核心考点讲与练）-2021-2022学年高一数学下学期考试满分全攻略（沪教版2020必修第二册）

第14讲 复数及其四则运算(核心考点讲与练) 一、理解复数的有关概念 （1）虚数单位:它的平方等于-1，即. （2）复数的定义与表示： 形如的数叫复数，叫复数的实部，记作；叫复数的虚部， 记作；全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即，把复数表示成的 形式，叫做复数的代数形式. （3）复数的分类以及复数与实数、虚数、纯虚数及的关系： 对于复数，当且仅当时，复数是实数，； 当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数； 当且仅当时，就是实数0. （4）两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等. 这就是说，如果、、、，那么 【注意】 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小，只有当两个复数全是实数时才能比较大小. （5）复数集与其它数集之间的关系：. （6）共轭复数： 实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做共轭复数，也称这两个复数互相共轭.复数的共轭复数用表示，也就是当时，.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 【注意】 共轭复数的几何与代数特征: （1）几何特征： 非零复数 互为共轭复数 对应点 （或对应向量 ， ）关于实轴对称. （2）代数特征：① 为纯虚数或零； 　　② . （7）复数的模： 复数在复平面内所对应的点到坐标原点的距离叫做复数的模，记作. 由模的定义，可知. 二、理解复数的有关运算及性质 （1）复数的四则运算：设，则 ①加减：； ②乘法：； ③除法：. （2）共轭复数的运算： 　　①； ② ；　③； ④； 5 ； ⑥； 　⑦若z为纯虚数；⑧. 考点一：复数的概念 例1.【2020河南南阳一中期末】己知，其中为虚数单位，则（ ） A． B．1 C．3 D． 例2.【2020·上海奉贤一中期中】已知z＝（a﹣i）（1+i）（a∈R，i为虚数单位）为纯虚数，则a＝_____. 例3.【2020·重庆涪陵月考】已知复数，，则的虚部为（ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 例4.【2020·广东佛山月考】若，则（ ） A． B．1 C． D．3 例5.【2020·安徽亳州期末】已知i是虚数单位，复数，则（ ） A．1 B． C． D．2 例6.【2020·山西晋城一中期末】复数的虚部为（ ） A． B． C．1 D．-1 例7.【2020陕西汉中二中期中】已知复数，，则复数的虚部为（ ） A． B． C． D． 例8.【2020四川江油一中期中】若是纯虚数，则的值为（ ） A．﹣7 B． C．7 D．﹣7或 例9.【2020贵州遵义一中期中】已知，是虚数单位，，则可取的值为（ ） A．1 B．-1 C．1或-1 D．任意实数 例10.【2020·内蒙古包头期末】设复数满足，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）． A． B．的虚部是 C．在复平面内所对应的点为 D． 例11.【2020·湖南郴州期末】若复数的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．1 D．3 例12.【2020·福建福州一中月考】已知是复数的共轭复数，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 考点二：复数的相等 例1.（2020·上海高二课时练习）关于的方程有纯虚数根，则为（ ）． A．0 B．1 C．2 D．0或2 例2.（2020·上海高二课时练习）已知为复数，满足，求的值． 考点三：复数的运算 例1. 设、、、，若为实数，则 ( ) A． B． C． D． 例2． 例3．求同时满足下列两个条件的所有复数； （1），且；（2）的实部与虚部都是整数 例4.【2020山西五台一中期中】（ ） A． B． C． D． 例5.【2020·江苏专题练习】已知复数若为实数，则实数的值为_______． 考点四：复数的模及其运算 例1.已知复数是 实数，则=___________. 例2．复数= 例3.（2018·上海市七宝中学高三期末）已知复数（是虚数单位）是虚数，且，则实数的值是______ 考点五：复数的综合应用 例1．将复数对应的向量按顺时针方向旋转，再把它的模变为原来的倍，则与所得到的向量对应的复数是 例2．定义:复数是的转置复数,记为;复数是的共轭复数,记为.给出下列三个命题:①;②;③;其中真命题的个数为 （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 例3．在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在复数集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”．定义如下：对于任意两个复数，（），当且仅当“