类型三 综合应用型试题-2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练（全国通用）

类型三综合应用型试题 1.【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD·AB． 【尝试应用】 （2）如图2，在□ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长. 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF， ∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长. 【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质及菱形的性质． （1）由两角相等证明△ADC∽△ACB，再由相似三角形的性质证明结论； （2）解决这类发现、探究类问题要将后面求解内容转化为前面已经解决的问题进行求解，所以要求AD，首先根据平行四边形的性质将AD转化为BC，再由已知及图形性质证明△BFE∽△BCF，最后由相似三角形的性质求得AD的长； （3）把图形（3）通过辅助线转化为（2）中的图形，为此分别延长EF，DC相交于点G，构造平行四边形AEGC，由相似三角形的性质及已知条件求得DG，进而求得菱形边长． 【答案】解：（1）∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴AD:AC＝AC:AB，∴AC2＝AD·AB． （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠A＝∠C，又∵∠BFE＝∠A，∴∠BFE＝∠C，又∵∠FBE＝∠CBF， ∴△BFE∽△BCF，∴BF2＝BE·BC， ∴BC＝＝，∴AD＝ （3）如图，分别延长EF，DC相交于点G.∵四边形ABCD是菱形， ∴AB//DC，∠BAC＝∠BAD，∴四边形AEGC为平行四边形， ∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，∵∠EDF＝∠BAC， ∴∠EDF＝∠G，又∵∠DEF＝∠GED，∴△EDF∽△EGD， ∴DE2＝EF·EG，又∵EG＝AC＝2EF，∴DE2＝2EF2， ∴DE＝EF，又∵DG:DF＝DE:EF，∴DG＝DF＝5，∴DC＝DG－CG＝5－2. 2.已知在△ABC中，AC＝BC＝m，D是AB边上的一点，将∠B沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点P处（不与点A，C重合），折痕交BC边于点E． （1）特例感知 如图1，若∠C＝60°，D是AB的中点，求证：APAC； （2）变式求异 如图2，若∠C＝90°，m＝6，AD＝7，过点D作DH⊥AC于点H，求DH和AP的长； （3）化归探究 如图3，若m＝10，AB＝12，且当AD＝a时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置，请直接写出a的取值范围． 【分析】（1）证明△ADP是等边三角形即可解决问题． （2）分两种情形：情形一：当点B落在线段CH上的点P1处时，如图2﹣1中．情形二：当点B落在线段AH上的点P2处时，如图2﹣2中，分别求解即可． （3）如图3中，过点C作CH⊥AB于H，过点D作DP⊥AC于P．求出DP＝DB时AD的值，结合图形即可判断． 【解答】（1）证明：∵AC＝BC，∠C＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∠A＝60°，由题意，得DB＝DP，DA＝DB，∴DA＝DP，∴△ADP使得等边三角形， ∴AP＝ADABAC． （2）解：∵AC＝BC＝6，∠C＝90°，∴AB12， ∵DH⊥AC，∴DH∥BC，∴△ADH∽△ABC，∴， ∵AD＝7，∴，∴DH，将∠B沿过点D的直线折叠， 情形一：当点B落在线段CH上的点P1处时，如图2﹣1中， ∵AB＝12，∴DP1＝DB＝AB﹣AD＝5，∴HP1， ∴A1＝AH+HP1＝4， 情形二：当点B落在线段AH上的点P2处时，如图2﹣2中， 同法可证HP2，∴AP2＝AH﹣HP2＝3， 综上所述，满足条件的AP的值为4或3． （3）如图3中，过点C作CH⊥AB于H，过点D作DP⊥AC于P． ∵CA＝CB，CH⊥AB，∴AH＝HB＝6， ∴CH8，当DB＝DP时，设BD＝PD＝x，则AD＝12﹣x， ∵tanA，∴，∴x， ∴AD＝AB﹣BD，观察图形可知当6＜a时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置． 3.问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系． 小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG＝AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论，他的结论就是　 　； 探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F，