6.4.3余弦定理、正弦定理3课件-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3 余弦定理、正弦定理 变式： sinA:sinB:sinC=a:b:c 正弦定理 在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比相等，即 2 课前练习：在△ABC中，sin A:sin B:sin C=3:4:5，则△ABC是( 　) A．直角三角形　　 B．等腰三角形 C．锐角三角形　　 D．钝角三角形 【解析】由正弦定理，得sin A:sin B:sin C=a:b:c=3:4:5， 所以可设a=3k，b=4k，c=5k，由于(3k)2+(4k)2=(5k)2， 即a2+b2=c2，所以△ABC是直角三角形． A 题型一、判断三角形的形状 例1、在△ABC中，若sinA=2sinBcosC，且sin2A=sin2B+sin2C，试判断△ABC的形状 法一：(利用角的互余关系) 因为sin2A=sin2B+sin2C， ∴A是直角，B+C=90°， ∴2sinB cos C=2sin B cos (90°－B)=2sin2B=sinA=1， ∴a2=b2+c2， ∵0°<B<90°，∴B＝45°，C＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形． 根据正弦定理，得 法二：(利用角的互补关系) ∴a2＝b2＋c2，∴A是直角． ∵A＝180°－(B＋C)，sinA＝2sin B cos C， ∴sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝2sin B cos C， ∴sin (B－C)＝0. 又－90°<B－C<90°，∴B－C＝0，∴B＝C， ∴△ABC是等腰直角三角形． 因为sin2A=sin2B+sin2C， 根据正弦定理，得 思考：还有别的解法吗？ 1、在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=acosC，试判断△ABC的形状. 跟踪训练 解:因为b=acosC，由正弦定理，得sin B=sinAcosC.① 因为B=π－(A+C)，所以sinB=sin(A+C)， 所以①式变为sin(A+C)=sinAcosC. 化简得cosAsinC=0. 因为A，C∈(0，π)，所以cosA=0，A= 即△ABC是直角三角形. (1)化角为边。将所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为： 总结归纳 利用正弦