必考点01 空间向量运算经典考题（一）-【对点变式题】2021-2022学年高二数学下学期期中期末必考题精准练（苏教版2019选择性必修第二册）

必考点01 空间向量运算经典考题（一） 题型一 空间向量的加减运算 例1．如图，在平行六面体中，　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】为平行四面体， ． 故选B． 例2．如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，为延长线上一点，，则　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， ， 故选A． 例3．在正方体中，与的交点为．设，则下列向量与相等的向量是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】正方体中，与的交点为， ， 故选C． 【解题技巧提炼】 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 题型二 空间向量的线性运算 例1．如图，四面体，是底面的重心，，，，则　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】四面体中，是底面的重心，连接并延长，交于， 则为线段的中点，， 由，可得， 则， 由， 则． 故选B． 例2．在平行六面体中，为与的交点，若，，，则与相等的向量是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在平行六面体中， ，，，为与的交点， ． 故选D． 例3．在三棱锥中，，为中点，则　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连结， 所以， 因为， 故， 所以． 故选B． 【解题技巧提炼】 利用数乘运算进行向量表示的注意点 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题． 题型三 向量共线的判定及应用 例1．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，是的中点，，，，若，则　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】建立空间直角坐标系： 如图所示： 利用空间直角坐标系：设，0，，，4，，，0，，，0，，， 由于，，， 则，3，，， 所以，，， 则，解得， 故． 故选C． 例2．如图，在中，点是上的点且满足，是上的点，且，设，，则　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 所以． 故选B． 例3．在四棱锥中，底面为平行四边形，若，，，则　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以， 又， 所以， 则． 故选C． 【解题技巧提炼】 向量共线的判定及应用 (1)本题利用向量的共线证明了线线平行，解题时应注意向量共线与两直线平行的区别． (2)判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达． (3)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使＝λ； 题型四 向量共面的判定 例1．若空间四点、、、共面且，则的值为　　 A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【解析】依题意， 由四点共面，则系数和，则． 故选D． 例2．在下列等式中，使点与点，，一定共面的是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于，变形后均不满足： ，且，故均错误， 对于，，， 点与点，，一定共面，故正确． 故选C． 例3．已知，，三点不共线，为平面外一点，若由确定的点与，，共面，则的值为　　 A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】因为点与，，共面，且， 所以，解得． 故选B． 【解题技巧提炼】 解决向量共面的策略 (1)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． (2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示． 题型五 数量积的计算 例1．已知四面体，所有棱长均为2，点，分别为棱，的中点，则　　 A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】四面体，所有棱长均为2， 四面体为正四面体， ，分别为棱，的中点， ． 故选D． 例2．已知空间四边形的每条边和对角线的长都为，，，分别是，，的中点，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】空间四边形的每条边及、的长都为， 四面体是正四面体，所以每个面都是等边三角形， 点、、分别是、、的中点， ． 故选D． 例3．在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则的值为　　 A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】如图，为正四面体，则，是棱中点，