12.2 复数的运算（课堂培优）-2021-2022学年高一数学课后培优练（苏教版2019必修第二册）

12.2复数的运算 一、单选题 1. 复数，，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数，的值为      A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】 本题主要考查复数的概念，以及复数的加减计算，属于基础题． 【解答】 解：根据题意得，为实数，为纯虚数， 所以且， 解得，， 故选A．    2. 为虚数单位，      A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题是基础题，考查复数的基本运算，的幂的运算性质，考查计算能力，常考题型． 直接利用的幂运算，化简表达式即可得到结果． 【解答】解：，．   3. 已知是的共轭复数，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题． 先利用复数的运算法则求出的值，再利用共轭复数的定义求出，从而确定，的值，求出． 【解答】 解：， ， ，， ， 故选：．   4. 的值是    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查复数的计算和虚数单位的幂的运算的周期性，属基础题． 先计算，然后根据的幂的运算的周期性求值． 【解答】解：． 故选C．   5. 已知复数，，且是实数，则实数等于 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查复数的概念、共轭复数和复数的四则运算，考查推理能力和计算能力，属于基础题． 由为实数，得． 【解答】 解：为实数， 则，所以．   6. 已知复数，是的共轭复数，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查共轭复数、虚数单位的幂运算的周期性、复数的四则运算，属于中档题． 利用虚数单位的幂运算的周期性化简复数，再利用复数的四则运算法则和共轭复数的概念，即可求出结果  【解答】 解：因为， 且， 所以， 所以， 所以． 故选B．   7. 设有下面四个命题 若满足，则 若虚数是方程的根，则也是方程的根： 已知复数，，则的充要条件是 若复数，则， 其中真命题的个数为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 本题主要考查命题的真假判断，涉及复数的运算，复数的概念以及充分条件和必要条件，属于中档题． ：根据共轭复数进行计算即可判断； ：提取公因式，根据方程根的特点进行判断； ：根据共轭复数以及充要条件的定义进行判断； ：根据实数能比较大小，即可进行判断． 【解答】 解：：若满足，设，，， 则，故命题为真命题； ：由得， 则或，若虚数是方程的根， 则也是方程的根，故命题为真命题； ：已知复数，，则设，，， 则，，，则成立，即必要性成立， 设，，满足：，但不成立，即充分性不成立， 故的必要不充分条件是，故此命题为假命题； ：若复数，则，，故命题为真命题． 其中真命题的个数为个， 故选：． 二、填空题 8. 已知，，，，若，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】 本题主要考查复数的应用，是高考中常见的题型，属于中档题． 利用复数的减法运算，求出，再结合两角差的余弦公式，可求的值． 【解答】 解：由题意得，， 平方得到，得，所以． 故答案为．    9. 是虚数单位，          ． 【答案】 【解析】 【分析】 本题考查复数的运算和虚数单位的幂运算的周期性，属于中档题． 利用虚数单位的幂运算的周期性和复数的运算法则即可求解． 【解答】 解： 故答案为．    10. 已知是关于的方程的一个根，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】 本题主要考查复数的四则运算，复数相等的充要条件，属于基础题． 将代入方程，结合复数的四则运算、复数相等的充要条件可得、的值，即可求出． 【解答】 解：将代入方程， 得， 即， 由复数相等的充要条件， 得 解得 则． 故答案为．   11. 定义一种运算：则复数的共轭复数是________． 【答案】 三、解答题 12. 计算：为虚数单位； 已知是一个复数，求解关于的方程为虚数单位． 【答案】解：． 设，则，  代入，   得，  即，  则解得或 则或． 【解析】此题考查复数的概念、复数的四则运算和复数相等的充要条件，属于基础题． 根据复数的四则运算进行求解即可； 设，根据共轭复数的概念和复数相等的充要条件进行求解即可． 13. 满足是实数且的实部与虚部是相反数的虚数是否存在？若存在，求出虚数，若不存在，请说明理由． 【答案】解：虚数存在． 设， 满足是实数且的实部与虚部是相反数， ， 解得，或，． 或． 【解析】利用复数的定义和性质列出方程组能求出． 本题考查满足条件的复数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的性质的合理运用． 14. 求的值； 若关于的一