第13课 正方形-【帮课堂】2021-2022学年八年级数学下册同步精品讲义（人教版）

第13课 正方形 目标导航 课程标准 1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系； 2．掌握正方形的性质及判定方法． 知识精讲 知识点01 正方形的定义 四条边都 ，四个角都是 的四边形叫做正方形. 注意： 既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 知识点02 正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边 、邻边 、对边 ； 2.角——四个角都是 ； 3.对角线——① ，②互相 ，③每条对角线 ； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 注意： 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 知识点03 正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条： 或先证四边形是 ，再证明它 ； 或先证四边形是 ，再证明它 . 知识点04 特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 知识点05 顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是 . （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是 . （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是 . （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是 . 注意： 新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的 ，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的 ，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的 ，则新四边形是正方形. 能力拓展 考法01 正方形的性质 【典例1】如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为（       ） A．8 B．9 C．10 D．11 【即学即练】如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为__． 【即学即练】如图所示，，，以为边作正方形，求，的坐标. 【典例2】矩形、菱形、正方形都具有的性质是（       ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分且相等 【典例3】如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为(　　) A．3 B．4 C． D． 【典例4】如图，在正方形中，点是的中点，连接，过点作交于点，交于点． （1）证明：； （2）连接，证明：． 【典例5】如图，四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，CE与BG交于点M，点M在△ABC的外部． (1)求证：BG＝CE； (2)求证：CE⊥BG； (3)求：∠AME的度数． 【典例6】如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是CD的中点，F是BC上的一点，且∠AEF=90°，延长AE交BC的延长线于点G, （1）求GE的长； （2）求证：AE平分∠DAF； （3）求CF的长. 考法02 正方形的判定 【典例7】在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（　　） A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠C C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC 【典例8】如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE， （1）求证：四边形AEBD是矩形； （2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由． 【典例9】已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形． 【典例10】已知，如图，四边形ABCD是菱形，∠B是锐角，AF⊥BC于点F，CH⊥AD于点H，在AB边上取点E，使得AE＝AH，在CD边上取点G，使得CG＝CF．联结EF、FG、CH、HE． (1)求证：四边形EFGH是矩形． (