第11课 矩形-【帮课堂】2021-2022学年八年级数学下册同步精品讲义（人教版）

第11课 矩形 目标导航 课程标准 1. 理解矩形的概念. 2. 掌握矩形的性质定理与判定定理. 知识精讲 知识点01 矩形的定义 有一个角是 的平行四边形叫做矩形. 注意： 矩形定义的两个要素： ①是 ； ②有一个角是 . 即矩形首先是一个 ，然后增加一个角是 这个特殊条件. 知识点02 矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的 相等； 3.矩形的四个角都是 ； 4.矩形是 称图形，它有 条对称轴. 注意： （1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看： 从边看，矩形对边 ； 从角看，矩形四个角都是 ； 从对角线看，矩形的对角线 . 知识点03 矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是 的 叫做矩形. 2.对角线 的 是矩形. 3.有 是矩形. 注意： 在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 知识点04 直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于 . 注意： （1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用. （2）学过的直角三角形主要性质有： ①直角三角形两锐角 ； ②直角三角形两直角边的 等于 ； ③直角三角形中30°所对的直角边等于 . （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 能力拓展 考法01 矩形的性质 【典例1】如图所示，已知四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ． 【即学即练】如图所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点处，点A落在点处． (1)求证：； (2)设AE＝，AB＝，BF＝，试猜想之间有何等量关系，并给予证明． 【典例2】如图所示，矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，求∠BOE的度数． 考法02 矩形的判定 【典例3】如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE． （1）求证：△ABE≌△ACD； （2）求证：四边形BCDE是矩形． 　 【即学即练】如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO中，且∠ABC+∠ADC=180°． （1）求证：四边形ABCD是矩形． （2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？ 考法03 直角三角形斜边上的中线的性质 【典例4】如图所示，BD、CE是△ABC两边上的高，G、F分别是BC、DE的中点． 求证：FG⊥DE． 【即学即练】如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（　　） A. B. C. D. 分层提分 题组A 基础过关练 1．下列选项中，矩形具有的性质是(　　) A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角 2．能够判断一个四边形是矩形的条件是（ ） A．对角线相等 B．对角线垂直 C．对角线互相平分且相等 D．对角线垂直且相等 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，点E为AC的中点，连接DE，若△ABC的周长为20cm，则△CDE的周长为（ ） A．10 cm B．12 cm C．14 cm D．16 cm 4．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC=∠ECA，则AC的长是（　　） A． B．6 C．4 D．5 5．顺