必考点04 导数在研究函数中的应用-【对点变式题】2021-2022学年高二数学下学期期中期末必考题精准练（人教A版2019选择性必修第二册+第三册）

必考点04 导数在研究函数中的应用 题型一 证明（判断）函数的单调性 例题1已知函数f(x)＝(x－1)2－x＋ln x(a>0)．讨论f(x)的单调性． 【解题技巧提炼】 讨论函数f(x)单调性的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根； (3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f′(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性． [提醒]　研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． 题型二 求函数单调区间 例题1已知函数f(x)＝(ln x－k－1)x(k∈R)．当x>1时，求f(x)的单调区间． 【解题技巧提炼】 利用导数求函数单调区间的方法 (1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出单调区间． (2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间． (3)若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间． [提醒]　若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开． 题型三 利用导数解决函数的极值问题 例题1已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)·f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 例题2设函数f(x)＝(x－a)·(x－b)(x－c)，a，b，c∈R，f′(x)为f(x)的导函数．若a≠b，b＝c，且f(x)和f′(x)的零点均在集合{－3,1,3}中，求f(x)的极小值． 【解题技巧提炼】 由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数 y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点． 求函数的极值或极值点的步骤 (1)求导数f′(x)，不要忘记函数f(x)的定义域； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)检查在方程的根的左右两侧f′(x)的符号，确定极值点或函数的极值． 题型四 利用导数求函数的最值 例题1已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数． (1)当a＝－1时，求f(x)的最大值； (2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值． 【解题技巧提炼】 导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤 (1)求函数f(x)的导数f′(x)； (2)求f(x)在给定区间上的单调性和极值； (3)求f(x)在给定区间上的端点值； (4)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值； (5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范． 题型一 证明（判断）函数的单调性 1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　) A．f(x)＝sin 2x　　　　　　 B．f(x)＝xex C．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋ln x 2．已知函数f(x)＝(m≥0)，其中 e为自然对数的底数．讨论函数 f(x)的单调性． 题型二 求函数单调区间 1．若幂函数f(x)的图象过点，则函数g(x)＝exf(x)的单调递减区间为(　　) A．(－∞，0)　　　　　　　　 B．(－∞，－2) C．(－2，－1) D．(－2,0) 2．已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x. (1)求a的值； (2)求函数f(x)的单调区间． 题型三 利用导数解决函数的极值问题 1．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则(　　) A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极小值 B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极大值 C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极小值 D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极大值 2．(2021·安徽毛坦厂中学4月联考)已知函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f(x)的极大值为(　　) A．2　　　　　　　　　 B．－ C．3＋ln 2 D．－2＋2ln 2 3．已知函数f(x)＝ln x. (1