7.2.2复数的乘、除运算-2021-2022学年高一新教材配套学案（人教A版必修2 ）

7.2.2复数的乘、除运算 学习目标 核心素养 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算． 数学抽象 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 逻辑推理 3．会利用复数代数形式的乘法和除法及运算律解决相关问题。 数学运算 导学 · 课前自主学习 知识梳理 知识点1. 复数代数形式的乘法法则及运算律 (1)复数代数形式的乘法法则 已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. (2)复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3 【名师点睛】1.复数的乘法的两点说明 （1）复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开（i2换成－1）. （2）多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用.　 知识点2．复数代数形式的除法法则 (a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(c＋di≠0)． 【名师点睛】对复数除法的两点说明 （1）分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似. （2）注意最后结果要将实部、虚部分开. 【思考交流】 |z|2＝z2，正确吗？ 【提示】不正确．例如，|i|2＝1，而i2＝－1. 自主测评 1．思考辨析 (1)实数不存在共轭复数．(　　) (2) 两个共轭复数的差为纯虚数．(　　) (3) 若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.(　　) 1.　(1)×　(2)×　(3)× 2．复数(3＋2i)i等于(　　) A．－2－3i B．－2＋3i C．2－3i D．2＋3i 【答案】B 【解析】(3＋2i)i＝3i＋2i·i＝－2＋3i，选B. 3．已知复数z＝2－i，则z·的值为(　　) A．5 B． C．3 D． 【答案】A 【解析】z·＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5，故选A. 4．已知为虚数单位，复数z满足：，则的虚部为----------------. A．1 B． C． D． 【答案】－1 【解析】 。 探究 · 课堂互动研讨 考点1复数乘法的运算 【方法点拨】 1.两个复数代数形式乘法的一般方法 复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等 2.常用公式 1a＋bi2＝a2＋2abi－b2a，b∈R； 2a＋bia－bi＝a2＋b2a，b∈R； 31±i2＝±2i. 【例1】计算： （1）(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)； （2）(3＋4i)(3－4i)； （3）(1＋i)2. 【思路点拨】直接根据复数的乘法运算法则求解即可。 【解析】(1) (1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i) ＝－20＋15i； （2）(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25； （3）(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i. 【变式训练1】复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________． 【答案】5 【解析】(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i，所以z的实部是5. 考点2 复数除法的运算 【方法总结】　 两个复数代数形式的除法运算步骤 1首先将除式写为分式； 2再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； 3然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式. 【例2】计算： (1)；(2)；(3)；(4). 【解析】 (1)； (2)； (3)； (4). 【变式训练2】根据下列条件，求． (1)；(2)． 【解析】(1)因为， 所以； (2)因为， 所以. 考点3.共轭复数及其应用 【特别提示】 （1）由比较复杂的复数运算给出的复数，求其共轭复数，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成代数形式，再写出其共轭复数. （2）注意共轭复数的简单性质的运用. 【例3】1.在复平面内，复数（为虚数单位），则对应的点的坐标为（       ） A． B． C． D． 2.已知复数的共轭复数为. （1）若，求：； （2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，且，求的取值范围. 【解析】1.因为，