专题04 数列压轴题常见模型与归纳-2021-2022学年高二数学下学期期中考试好题汇编（人教A版2019）

专题04 数列压轴题常见模型与归纳 知识点一：数列中的规律问题 1．（2021·江西省信丰中学高二开学考试（理））如图，一个质点从原点出发，在与y轴.x轴平行的方向按（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→（2，1）→（2，2）…的规律向前移动，且每秒钟移动一个单位长度，那么到第2011秒时，这个质点所处位置的坐标是（       ） A．（13，44） B．（14，44） C．（44，13） D．（44，14） 【答案】A 【解析】 【分析】 通过n=1，2，3，4归纳质点到达（n，n）处的长度单位，且n为偶数时，运动方向与y轴相同，n为奇数时，运动方向与x轴相同求解. 【详解】 质点到达（1，1）处，走过的长度单位是2，方向向右； 质点到达（2，2）处，走过的长度单位是6=2+4，方向向上； 质点到达（3，3）处，走过的长度单位是12=2+4+6，方向向右； 质点到达（4，4）处，走过的长度单位是20=2+4+6+8，方向向上； … 猜想，质点到达（n，n）处，走过的长度单位是2+4+6+…+2n=n(n+1)， 且n为偶数时，运动方向与y轴相同，n为奇数时，运动方向与x轴相同， 所以1980秒后，这个质点到达（44，44）后，再继续前进了31个单位， 由图中规律，可得向左前进了31个单位， 所以第2011秒时，这个质点所处位置的坐标是（13，44）， 故选：A 2．（2022·全国·高二课时练习）某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个……按照此规律，6小时后细胞存活个数是（       ） A．33 B．64 C．65 D．127 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可得，构造等比数列可求出，从而可求出结果 【详解】 将开始时的细胞个数记为，1小时后的细胞个数记为，2小时后的细胞个数记为，3小时后的细胞个数记为，……， 由题意可得，当时，，则 ，所以 数列是以2为公比，1为首项的等比数列， 所以， 所以， 所以6小时后细胞存活个数为， 故选：C 3．（2022·上海市松江二中高三开学考试）阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用，如图，在平面直角坐标系中，螺线与坐标轴依次交于点､，并按这样的规律继续下去，给出下列两个结论：①存在正整数的面积为2022；②对于任意正整数为锐角三角形.则（       ） A．①错误，②错误 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①正确，②正确 【答案】C 【解析】 【分析】 由题设可得，△中最大边为且，即可判断结论的正误. 【详解】 由题设知：且， 而，所以不存在使△的面积为2022，①错误； 又△中最大边为，且， 所以，故对于任意正整数为锐角三角形，②正确. 故选：C 4．（2021·江苏省前黄高级中学高三阶段练习）已知“整数对”按如下规律排一列，则第2021个整数对为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 将整数对进行重新排列，寻找规律，进行求解即可． 【详解】 将整数对进行重新排列如图：                                ，，    ，，， ，，，，，                       ， 每一行两个整数的和相等，第行的第一个数为，第行有个整数对， 则前行的整数对共有， 当时，， 当时，， 则第2021个整数对位于第64行的第5个数为， 故选：C. 5．（2021·安徽宿州·高二期中（文））分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦．B．曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图按照的分形规律生长成一个树形图，则第12行的实心圆点的个数是（       ） A．89个 B．55个 C．34个 D．144个 【答案】A 【解析】 【分析】 观察图像可知每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点,每个空心圆点下一行均为实心圆点.再利用规律找到行与行之间的递推关系即可. 【详解】 由图像可得每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点, 每个空心圆点下一行均为实心圆点. 故从第三行开始,每行的实心圆点数均为前两行之和. 即 . 故第1到第12行中实心圆点的个数分别为： . 故选： 6．（2021·云南保山·高二期末（理））在平面直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为“整点”，现部分整点按如下规律排成一列：，，，，，，，，，，，，，，，…，则第666个整点是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 首先发现规律，将整点分组，判断第666个整点在第几组，从而得到整点的坐标. 【详解】 整点排列规律如下：