专题03 数列中的证明问题-2021-2022学年高二数学下学期期中考试好题汇编（人教A版2019）

专题03 数列中的证明问题 知识点1：证明等差、等比数列 1．（2022·江苏·南京师大附中高二开学考试）数列的前项和满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】 【分析】 （1）由，结合，得到，进而化简得到，即可证得数列为等比数列； （2）由（1）可得，当时，可得，两式相减得，得到，设，得到，结合等比数列的定义求得数列表示首项为，公比为的等比数列，进而求得数列的通项公式. (1) 解：由数列的前项和，满足 因为，可得， 即，即， 又由，可得， 所以数列表示首项为，公比为的等比数列. (2) 解：由（1）可得， 当时，可得， 两式相减得， 即，即，即， 设，可得，即， 又由，可得，， 因为， 所以，可得， 所以数列表示首项为，公比为的等比数列， 所以，即，解得. 2．（2022·安徽滁州·高二阶段练习）在数列中，，． (1)设，证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)设为数列的前项和，求． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【解析】 【分析】 （1）利用等比数列的定义求解； （2）利用错位相减法求解. (1) 解：因为，， 所以． 又，所以是首项为，公比为的等比数列． 所以， 故． (2) ，① 由①，得，② ①－②得， ， 所以． 3．（2022·江苏南通·高二开学考试）已知数列满足， (1)求的值； (2)记，证明：数列为等比数列． 【答案】(1)，， (2)详见解析 【解析】 【分析】 （1）根据递推关系式，根据首项，依次求得的值； （2）根据递推关系式求得，即可证明. (1) 由递推关系可知，，， . (2) ， ， 所以 ，又， 即数列是以为首项，为公比的等比数列. 4．（2022·全国·高二单元测试）记数列的前项和为，，，. (1)证明数列为等差数列，并求通项公式； (2)记，求. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【解析】 【分析】 （1）由可得出，结合等差数列的定义可证明结论成立，确定数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式； （2）求得，利用等差数列的求和公式可求得的值. (1) 证明：，，，则，即，解得， 所以，，即， 所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，故. (2) 解：， 所以，. 5．（2022·江苏·南京市第十三中学高二开学考试）已知数列的前项和. (1)求证：数列是等差数列. (2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】 【分析】 （1）由，利用数列的通项和前n项和的关系求解； （2）由（1）得 ，将不等式对任意恒成立，转化为，对任意恒成立求解. (1) 解：当时，，解得， 当时，， 所以，即， 即， 又， 故数列是以2为首项，1为公差的等差数列. (2) 由（1）知，，即， 所以，对任意恒成立， 即，对任意恒成立， 记，故， 所以时，，所以，即， 时，，即随着的增大，递减， 所以的最大值为， 所以，即. 6．（2022·天津河西·高二期末）已知数列中，，且满足． (1)求证数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析；； (2). 【解析】 【分析】 （1）根据等差数列的定义证明为常数即可； （2）利用错位相减法即可求和. (1) 由得，， ∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴，∴； (2) ①， ②， ①－②得：， . 知识点2：证明或 7．（2022·湖南·邵阳市第二中学高二开学考试）已知数列是等差数列，，，数列的前项和为，且． (1)求数列、的通项公式； (2)记，若数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【解析】 【分析】 （1）建立方程组求首项和公差，求出数列通项公式；退位相减求出数列的通项公式； （2）对数列进行裂项化简，进而通过裂项相消进行求和，即可得证. (1) 由已知得，解得，所以， 当时，，①， 当时，， ②， 由①②得. (2) 由（1）知，所以 . 8．（2022·吉林·梅河口市第五中学高二开学考试）已知数列为等差数列，是数列的前项和，且，，数列满足. (1)求数列、的通项公式； (2)令，证明：. 【答案】(1)，. (2)证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）利用等差数列基本量代换求出，利用前n项和的定义求出； （2）用错位相减法求和后即可证明. (1) 设等差数列的公差为d. 因为，，所以，解得：，所以. 因为数列满足， 所以n=1时，有，解得：. 当时， ， 因为，所以. 经检验，对n=1也成立，所以. (2) 由（1）知，.记是数列的前项和. 则① ①式同乘以得：② ①-②得： 所以 因为，所以，所以. 即证. 9．（2022·重庆·高二期末）已知数列的首项为