专题02 数列求和-2021-2022学年高二数学下学期期中考试好题汇编（人教A版2019）

专题02 数列求和 知识点1：倒序相加法 1．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，数列满足，则（       ） A．2022 B．2023 C．4044 D．4046 【答案】A 【解析】 【分析】 先求得，然后利用倒序相加法求得正确答案. 【详解】 ∵， ∴． ∵， ∴．令， 则，两式相加得， ∴． 故选:A 2．（2022·江西九江·高二期末（文））德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（       ） A．96 B．97 C．98 D．99 【答案】C 【解析】 【分析】 令，利用倒序相加原理计算即可得出结果. 【详解】 令， ， 两式相加得： ， ∴， 故选:C． 3．（2022·全国·高三专题练习）设，为数列的前n项和，求的值是（       ） A． B．0 C．59 D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由题得   ①，   ②，两式相加化简即得解. 【详解】 令   ① 则   ② ①+②可得：， ，.. 故选：A 4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，数列满足，则（       ） A．2018 B．2019 C．4036 D．4038 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数解析式确定为常数，再得到，然后利用倒序相加法求和即可. 【详解】 ∵， ∴． 又∵， ∴． 令， 则， 两式相加得，∴． 故选：A 5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的值为（       ） A．1 B．2 C．2020 D．2021 【答案】C 【解析】 【分析】 设，得到，再利用倒序相加求和得解. 【详解】 解：函数，设，则有， 所以， 所以当时，， 令， 所以， 故． 故选：C 【点睛】 方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法. 要根据已知条件灵活选择方法求解. 知识点2：错位相减法 6．（2022·河南·平顶山市教育局教育教学研究室高二开学考试（文））在等差数列中，，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）根据等差数列通项公式，列出方程，即可求出首项和公差，即可求出通项公式； （2）由（1）可知，根据错位相减法，即可求出数列的前项和． (1) 解：设数列的首项为，公差为， 所以，解得，， 故的通项公式为． (2) 解：因为， 所以，             ① ，       ② 由①－②，得 ， 故数列的前项和. 7．（2022·安徽滁州·高二阶段练习）在数列中，，． (1)设，证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)设为数列的前项和，求． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【解析】 【分析】 （1）利用等比数列的定义求解； （2）利用错位相减法求解. (1) 解：因为，， 所以． 又，所以是首项为，公比为的等比数列． 所以， 故． (2) ，① 由①，得，② ①－②得， ， 所以． 8．（2022·湖南·长郡中学高二阶段练习）已知等差数列的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列，的前n项和为，且，（）． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【解析】 【分析】 （1）由，，成等比数列求出，即得解； （2）求出再对分两种情况讨论，利用错位相减法求解. (1) 解：因为，， 由题意得，解得． 所以，即. (2) 解：因为①；所以②； 由①一②可得 所以． 因为所以， 所以{bn}是第二项开始的等比数列， 则通项公式为 由（1）知 当时，； 当时， ③ ，④ ③-④得， ∴适合. 所以 9．（2022·新疆·二模（理））已知各项均为正数的数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，，成等差数列，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）先由得到是等比数列，再按照等比数列的通项公式求解即可； （2）先由，，成等差数列求出，再按照错位相减法求和即可. (1) 由，得，∵，∴ 所以，又知，所以是以1为首项，3为公比的等比数列， 故数列的通项公式为； (2) 由成等差数列可知，， 所以． 所以，① ，② 由①-②，得， ， 故. 10．（2022·重庆·高二期末）已知数列的首项为，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)设，记数列的前项和为，求，并证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【解析】 【分析】 （1）根据等比数列的定义证明； （2）由