专题05 切线问题经典考法-2021-2022学年高二数学下学期期中考试好题汇编（人教A版2019）

专题05 切线问题经典考法 知识点一：在点P的切线 1．（2022·安徽滁州·高二阶段练习）曲线在处的切线的方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由导数的几何意义即可求解. 【详解】 解：由，得，所以，， 所以曲线在处的切线的方程为，即． 故选：B. 2．（2022·全国·模拟预测（文））已知在处的切线倾斜角为，则的值为（       ） A．7 B． C．5 D．-3 【答案】B 【解析】 【分析】 由导数的几何意义求出切线斜率得出，再由二倍角的正余弦公式及同角三角函数的基本关系化简求值即可. 【详解】 因为， 所以， 所以 . 故选：B 3．（2022·广东·普宁市华侨中学高二阶段练习）曲线在点处的切线方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 求得，得到且，即可求得切线的方程. 【详解】 由题意，函数，可得， 所以且， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故选：A. 4．（2022·甘肃·一模（文））曲线在点处的切线方程为，则实数（       ） A．-16 B．16 C．-20 D．20 【答案】B 【解析】 【分析】 直接求出切线方程，即可得到答案. 【详解】 函数的导数为. 所以，. 所以在点处的切线方程为.故b=16. 故选：B 5．（2022·湖南·一模）若曲线在点处的切线与直线平行，则（       ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】 【分析】 利用导数的几何意义，结合平行线的性质进行求解即可. 【详解】 由，显然在曲线上， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 因此切线方程为：， 直线的斜率为， 因为曲线在点处的切线与直线平行， 所以， 故选：C 知识点二：过点P切线 6．（2022·河南·模拟预测（理））已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 设出曲线上的切点，求出导数，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的最值及其图象，即可得到a的范围. 【详解】 设曲线与其切线交于 切线方程l：， 由导数与切线方程斜率关系可得……① 又切线过点 要保证过点可以作曲线的两条切线，可得不能在曲线上 ……② 点A在曲线上，故……③ 由①②③式可得： ，解得 令 则 令，故 故当时，； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 即在时取得极大值，故 作出草图如下： 得仅在范围内由2个对应的值 即时，有2个解，此时存在2条切线方程 综上所述，的取值范围为 故选：B. 7．（2022·湖北·安陆第一高中高二阶段练习）若存在过点（0，－2）的直线与曲线和曲线都相切，则实数a的值是（       ） A．2 B．1 C．0 D．－2 【答案】A 【解析】 【分析】 在两曲线上设切点，得到切线，又因为（0，－2）在两条切线上,列方程即可. 【详解】 的导函数为，的导函数为， 若直线与和的切点分别为（，），， ∴过（0，－2）的直线为、， 则有，可得． 故选：A. 8．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（理））若过点可以作曲线且的两条切线，则（       ） A． B． C． D．与的大小关系与有关 【答案】D 【解析】 【分析】 设切点为：，写出切线方程，根据点在切线上，得到，根据过点可以作曲线且的两条切线，由方程有两个不同的根求解. 【详解】 设切点为：， 则， 所以切线方程为， 因为点在切线上， 所以， 即， 令， 则 ， 令 ，得， 当 时，，当 时，， 所以当时， 取得极小值 ， 若，当时，； 若时，当时，； 因为过点可以作曲线且的两条切线， 所以且，即， 所以与的大小关系与有关， 故选：D 9．（2022·山西长治·模拟预测（理））当时，过点均可以作曲线的两条切线，则b的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 设过点的切线与相切于，把题意转化为关于m的方程有两解.令.作出与的图像，有两个交点求出.记，利用导数求出的最大值，即可求出. 【详解】 设过点的切线与相切于， 则有，消去n得：. 因为过点均可以作曲线的两条切线， 所以关于m的方程有两解. 即有两解. 令.只需与有两个交点. 对于，则. 令，解得：；令，解得：. 所以在上单调递减，在单调递增. 作出的草图如图所示： 要使与有两个交点，只需. 记，. 令，解得；令，解得； 所以在上单调递增，在单调递增. 所以的最大值为， 所以. 故选：C 【点睛】 导数的应用主要有： （1）利用导函数几何意义求切线方程； （2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）