第29期 推理与证明综合-【数理报】2021-2022学年高中数学选修2-2（北师大版）

书 高中数学北师大（选修２－２）２０２２年１月 第２７～３１期参考答案 ２７期１版跟踪训练参考答案 归纳推理 １．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ａ． ４．ａｋ－１＋ａｋ＋… ＋ａ２ｋ－２． ５．ｆ（ｘ）＝ ２ｘ＋１． ６．解：（１）因为ａｎ ＝ １ ｎ（ｎ＋１）， 所以ａ１ ＝ １ ２，ａ２ ＝ １ ６，ａ３ ＝ １ １２． 所以Ｓ１ ＝ １ ２，Ｓ２ ＝ ２ ３，Ｓ３ ＝ ３ ４． （２）通过Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３的值，猜测Ｓｎ ＝ ｎ ｎ＋１． 类比推理 １．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ｂ． ４．正四面体内任意一点到各面的距离之和为定值． ５．Ｓ１ｃｏｓα＋Ｓ２ｃｏｓβ＋Ｓ３ｃｏｓγ． ６．解：（１）因为Ｖ球 ＝ ４ ３πＲ ３， 又 ４ ３πＲ( )３ ′＝４πＲ２， 故类似于①的式子可写为 ４ ３πＲ( )３ ′＝４πＲ２． （２）用语言叙述为：“球的体积函数的导数等于球的 表面积函数．” ２７期３版参考答案 归纳推理与类比推理同步测试题 Ａ组 一、选择题 １～８　ＣＢＡＢ　ＢＣＣＡ 提示： ３．因为“任何实数的平方非负”，所以“任何实数的 平方都大于０”是错误的，即大前提错误，故选（Ａ）． ４．只有（Ｂ）选项是类比推理． ５．根据（１），（２），（３），（４）知，Ａ对应竖线，Ｂ对应矩 形，Ｃ对应横线，Ｄ对应圆，由此可知选（Ｂ）． ７．根据题意 ｆ（１）＝１，ｆ（２）＝２×１１＋２＝ ２ ３，ｆ（３）＝ ２×２３ ２ ３＋２ ＝２４，ｆ（４）＝ ２×１２ １ ２＋２ ＝２５，…，可以归纳ｆ（ｘ）为 分数，且其分子为２不变，分母为ｘ＋１，即ｆ（ｘ）＝ ２ｘ＋１． ８．由题意结合所给的例子类比推理可得： ３＋２槡 ｘ ＝ｘ（ｘ≥０）， 整理得：（ｘ＋１）（ｘ－３）＝０，则ｘ＝３， 即 ３＋２ ３＋２槡槡槡 … ＝３． 二、填空题 ９．ｎ＋（ｎ＋１）＋… ＋（３ｎ－２）＝（２ｎ－１）２； １０．８９． 提示： １０．由规律得ａ＝９２－１，ｂ＝９ａ＋ｂ＝８９． 三、解答题 １１．解：当ｎ＝２时，交点个数ｆ（２）＝１； 当ｎ＝３时，交点个数ｆ（３）＝３； 当ｎ＝４时，交点个数ｆ（４）＝６； 当ｎ＝５时，交点个数ｆ（５）＝１０． 归纳猜想：ｆ（ｎ）＝ １２ｎ（ｎ－１）（ｎ≥２）． １２．解：一般形式：ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２（α＋６０°）＋ｓｉｎ２（α＋ １２０°）＝ ３２． 证明：左边 ＝１－ｃｏｓ２α２ ＋ １－ｃｏｓ（２α＋１２０°） ２ ＋ １－ｃｏｓ（２α＋２４０°） ２ ＝ ３ ２－ １ ２［ｃｏｓ２α＋ｃｏｓ（２α＋１２０°） ＋ｃｏｓ（２α＋２４０°）］＝３２－ １ ２［ｃｏｓ２α＋ｃｏｓ２αｃｏｓ１２０°－ ｓｉｎ２αｓｉｎ１２０°＋ｃｏｓ２αｃｏｓ２４０°－ｓｉｎ２αｓｉｎ２４０°］＝３２－ [１２ ｃｏｓ２α－ １２ｃｏｓ２α－槡３２ｓｉｎ２α－ １２ｃｏｓ２α＋ 槡３ ２ｓｉｎ２ ]α ＝ ３２ ＝右边 ( ． 将一般形式写成ｓｉｎ２（α－６０°）＋ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２（α＋ ６０°）＝３２，ｓｉｎ ２（α－１２０°）＋ｓｉｎ２（α－６０°）＋ｓｉｎ２α＝３２ )等均正确 １３．证明：（１）记Ｓ△ＡＢＣ ＝Ｓ，Ｓ△ＯＢＣ ＝Ｓ１，Ｓ△ＯＡＣ ＝Ｓ２， Ｓ△ＡＯＢ ＝Ｓ３，则Ｓ＝Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ３， 所以１＝ Ｓ１ Ｓ＋ Ｓ２ Ｓ＋ Ｓ３ Ｓ． 因为△ＡＢＣ与△ＯＢＣ同底ＢＣ， 故 Ｓ１ Ｓ ＝ ＯＡ′ ＡＡ′， 同理， Ｓ２ Ｓ ＝ ＯＢ′ ＢＢ′， Ｓ３ Ｓ ＝ ＯＣ′ ＣＣ′，所以 ＯＡ′ ＡＡ′＋ ＯＢ′ ＢＢ′＋ ＯＣ′ ＣＣ′＝１． （２）推广：设Ｏ是四面体ＡＢＣＤ内一点，延长ＡＯ，ＢＯ， ＣＯ，ＤＯ分别交对面于Ａ′，Ｂ′，Ｃ′，Ｄ′， 则 ＯＡ′ ＡＡ′＋ ＯＢ′ ＢＢ′＋ ＯＣ′ ＣＣ′＋ ＯＤ′ ＤＤ′＝１． 证明：仿（１），点Ｏ将四面体Ａ－ＢＣＤ分为四个小四 面体Ｏ－ＢＣＤ，Ｏ－ＡＣＤ，Ｏ－ＡＢＤ，Ｏ－ＡＢＣ． 所以ＶＡ－ＢＣＤ ＝ＶＯ－ＢＣＤ ＋ＶＯ－ＡＣＤ ＋ＶＯ－ＡＢＤ ＋ＶＯ－ＡＢＣ， 所以１＝ ＶＯ－ＢＣＤ ＶＡ－ＢＣＤ ＋ ＶＯ－ＡＣＤ ＶＡ－ＢＣＤ ＋ ＶＯ－ＡＢＤ ＶＡ－ＢＣＤ ＋ ＶＯ－ＡＢＣ ＶＡ－ＢＣＤ ， 因为四面体Ｏ－ＢＣＤ与四面体Ａ－ＢＣＤ同底△ＢＣＤ， 所以 ＶＯ－ＢＣＤ ＶＡ－ＢＣＤ ＝ＯＡ′ＡＡ′， 同理，有其他对应比相同，从而结论成立． Ｂ组 一、选择题 １～４　ＢＣＣＢ 提示： １．由ａ１ ＝１，ａ２＝５，ａｎ＋２＝ａｎ＋１－ａｎ（ｎ∈Ｎ＋）可得 数列｛ａｎ｝中的各项分别为：１，５，４，－１，－５，－４，１，５，…， 即数列每六项一循环，所以可推知ａ２２０ ＝－１． ２．７５＝１６８０７，７６＝１１７６４９，易观察出末两位数是成 周期变化的，周期为４，故７２２１ ＝７４×５５＋