第六章 计数原理 专题01 涂色问题与数字排列问题-2021-2022学年“高人一筹”之高二数学“痛点”大揭秘（人教A版2019选择性必修第三册）

第6章 计数原理 专题01 涂色问题与数字排列问题 与涂色问题有关的试题新颖有趣,今年已经在高考中出现,其中包含丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变。数字排列问题,应注意有条件限制的位,按分步计数原理,应先考虑有条件限制的位,再考虑其他位。因而这类问题有利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力。 从近几年高考命题看,考查考查力度与以往基本相同,与之相关的题目,难度不大. 【题型导图】 类型一 涂色问题 例1:(2022·山西·灵丘县)如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图,现在提供4种颜色给其中5个小区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻颜色不同,则不同的涂色方法种数为_. 【变式1】(2022·全国·高二)如图,一个地区分为个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有种颜色可供选择,则不同的着色方法共有多少种? 【变式2】.(2022·全国·高二)如图,在四棱锥中,现给5个顶点安装彩色灯泡,要求相邻顶点的位置不得使用同一颜色,有4种不同颜色可供选择,则不同的安装方法共有( ) A.48种 B.72种 C.80种 D.96种 【变式3】(2021·江西·横峰中学)如图所示的几何体由三棱锥与三棱柱组合而成,现用种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的涂色方案共有( ) A.种 B.种 C.种 D.种\ 类型二 数字排列 例2.(2022·山西运城)从、、三个奇数中取两个,再从、、三个偶数中取两个组成满足下列条件的四位数,问: (1)能够组成多少个无重复数字的四位数? (2)能够组成多少个比大的四位奇数? 【变式1】(2022·江苏·金陵中学)由0~9这10个数组成的三位数中,各位数字按严格递增(如“145”)或严格递减(如“321”)顺序排列的数的个数是( ) A.120 B.168 C.204 D.216 【变式2】(2021·天津经济技术开发区第一中学)用0、1、2、3、4这五个数字组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有( ) A.60个 B.40个 C.30个 D.24个 【变式3】(2021·全国·高二)由0,1,2,3,4,5这6个数字, (1)可以组成多少个无重复数字的四位数? (2)可以组成多少个无重复数字且能被25整除的四位数? 【限时训练】 1.(2022·湖南·高二)在0,1,2,3,4,5,6这7个数中任取4个数,将其组成无重复数字的四位数,则能被5整除,且比4351大的数共有( ) A.54个 B.62个 C.74个 D.82个 2.(2021·天津·高二)用数字0,1,2,3,4可以组成没有重复数字的五位偶数共有( ) A.36个 B.48个 C.60个 D.72个 3.(2021·江苏·吴江中学)用数字、、、、、组成没有重复数字的四位数,则下列说法正确的是( ) A.可组成个不重复的四位数 B.可组成个不重复的四位偶数 C.可组成个能被整除的不重复四位数 D.若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列,则第个数字为 4.(2022·吉林·抚松县)某地计划在10月18日至11月18日举办“菊花花会”,如图是某展区的一个菊花布局图,现有5个不同品种的菊花可供选择摆放,要求相邻的两个展区不使用同一种菊花,则不同的布置方法有( ) A.240种 B.300种 C.420种 D.460种 5.(2021·江苏南京)用数字0、1、2、3、4、5可以组成无重复数字且能被5整除的的五位数有_个.(用数字作答) 6.(2022·山西运城)给图中六个区域进行染色,每个区域只染一种颜色且相邻的区域不同色.若有4种不同的颜色可供选择,则共有_种不同的染色方案. 7.(2022·重庆八中高二)如图,给7条线段的5个端点涂色,要求同一条线段的两个端点不能同色,现有4种不同的颜色可供选择,则不同的涂色方法种数有_种. 8.(2021·江苏·苏州市)用0,1,2,3,4,5这六个数字:(最后运算结果请以数字作答) (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数? (2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数? (3)能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数? 9、(2021·全国·高二)用n种不同的颜色为两块广告牌着色,如图,要求在①,②,③,④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色. (1)若n=6,为甲着色时共有多少种不同的方法? (2)若为乙着色时共有120种不同的方法,求n的值. 10、(2022·全国·高二)如图所示的,,,按照下列要求涂色. (1)用3种不同颜色填涂图中,,,四个区域,且使相邻区域不同色,若按从左到右依次涂色,有多少种不同的涂色方案? (2)若恰好用3种不同颜色给,