高中数学强基计划最新真题分类专题8：平面几何

2020年-2021年高中数学强基计划最新真题分类8：平面几何专题 （说明：本资料根据学生记忆或其他资源整理，可能和原题会有出入，题目和参考答案仅供学习和参考） 1. 凸五边形 ABCDE 的对角线 CE 分别与对角线 BD 和 AD 交于点 F 和 G，已知 BF： FD＝5：4，AG：GD＝1：1，CF：FG：GE＝2：2：3，S△CFD 和 S△ABE 分别为△CFD 和 △ABE 的面积，则 S△CFD：S△ABE 的值等于（ ） A．8：15 B．2：3 C．11：23 D．前三个答案都不对 【导引】根据边长的比值求出三角形的面积的比值即可判定结论． 【解答】如图示，连结 AF： ∵CF：FG：GE＝2：2：3， ∴S△CFD：S△DFG：S△DEG＝2：2：3， 设 S△CFD＝S，则 S△DFG＝S，S△DEG＝S， 又 BF：FD＝5：4， ∴S△BEF：S△DFE＝5：4， ∴S△BEF＝ （S△DFG+S△DEG）＝ S， 又 BF：FD＝5：4， ∴S△ABF：S△AFD＝5：4， ∵AG：GD＝1：1， ∴S△AGE＝S△DEG＝ S，S△AFG＝S△DFG＝S， S△ABF＝S△ADF＝×2S＝S， ∴S△ABE＝S 四边形 ABFE﹣S△BEF＝（S△ABF+S△AFG+S△AGE）﹣S△BEF， ∴S△BEF＝S+S+S﹣S＝S， ∴S△CFD：S△ABE＝8：15， 故选：A． （2020 年北京大学） 2. 在中，，若为的内心，且满足，则的最大值为_________． 设 因为B、C、D三点共线，所以λx+λy=1 即 因为= 所以 （2020年复旦大学） 3. 在中，，，，则边上中线的长________． 参考答案： （2020年复旦大学） 4. 设圆半径为3，其一条弦，为圆上任意一点，则的最大值为（ D ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 4 解析：如图所示， 可得，==， 进一步可得，, 为和的夹角， 当=0时，,取得最大值12， 此时max= （2020年武汉大学） 5. 如图，延长圆的一条弦至，过点作圆的切线，，切点分别为，，为上一点，满足，则下列结论正确的是（ ） A B. A． D. 参考答案：ABCD 解析：根据弦切角定理和圆周角定理可得： MAB=MNB,CNB=BMN= A:在 ； B:在 ； C:在 BMN，所以AMN 所以 D:因为,所以 所以 （2020年武汉大学） 6. 圆周上有10个等分点，以这10个等分点的4个点为顶点构成四边形，其中梯形的个数为（ ） A. 10 B. 20 C. 40 D. 60 参考答案：D 解析:梯形的两条边平行，可以从5组平行于直径的5条平行弦中选取，也可以从5组不平行于直径的4条平行弦中选取，去除矩形后，梯形共有60个。 （2020年武汉大学） 7. 在非等边中，，若和分别为的外心和内心，在线段上，且满足，则下列选项正确的是（ ）． A．，，，四点共圆 B． C． D． 参考答案：AD （2021年南京大学） 8. 在中，，，，，则下列说法正确的是（ ）． A． B． C． D． 参考答案：ABCD （2021年南京大学） 9. 在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为格点，且所有顶点都是格点的多边形称为格点多边形．若一个格点多边形的内部有8个格点，边界上有10个格点，则这个格点多边形的面积为（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 答案：C （2021年南京大学） 10. 已知为的外心，、与的外接圆交于、．若，则__Π/4______． 连接BE，DE=OC，在▲OBC外接圆中，∠DBE=∠OBC，进而∠DBO=∠EBC. 在圆心为O的圆中，∠AOB=2∠ACB，∠AOB＋2∠OBD=180° 即2∠BCE＋2∠EBC=180° 即▲EBC为直角三角形，且BC为直角边，BC为第二个圆的直径 ∠OBC=Π/4 （2021年北京大学） 11.若平面上有100条二次曲线，则这些曲线可以把平面分成若干个连通区域，则连通区域数量最大值为__20101______． 从第 k 个二次曲线开始计算，新增加一个二次曲线变成 k + 1 条的情形，这条二次 曲线与原来每一个二次曲线最多有 4 个交点，相当于最多新增加 4k 个交点. (1) 如果是椭圆或者圆，被分成 4k 段圆弧，相当于增加连通区域最多 4k 个； (2) 如果是抛物线，被分成 4k + 1 段曲线，相当于最多增加连通区域 4k + 1 个； (3) 如果是双曲线，被分成 4k + 2 段曲线，相当于最多增加连通区域 4k + 2 个； (4) 如果是两条直线，明显相交