高中数学强基计划最新真题分类专题5：数列

2020年-2021年高中数学强基计划最新真题分类5：数列专题 （说明：本资料根据学生记忆或网上资源整理，可能和原题会有出入，题目和参考答案仅供学习和参考） 1. 整数列{an}n≥1 满足 a1＝1，a2＝4，且对任意 n≥2 有 an2﹣an+1an 1＝2n﹣1，则 a2020 的个位数字是（ ） A．8 B．4 C．2 D．前三个答案都不对 【导引】先将已知式子变形为 ，进而得到 an+1＝ 4an﹣2an﹣1，让 an 模 10 所得结果从 a2 开始的周期为 24，进而求出 a2000 的个位数字． 【解答】因为-=，则 -,2-2, = 因为 =+2，则 a3＝14，故 = = =4 即 an+1＝4an﹣2an﹣1，欲求个位数字，只需让 an 模 10，其结果为 1,4,4,8,4,0,2,8,8,6,8,0,4,6,6,2,6,0,8,2,2,4,2,0,6,4,4,8,4,0 从 a2 开始周期为 24，则 a2000 的个位数字是 8， 选：A． （2020 年北京大学） 2. 设 x，y，z 均不为（k+）π，其中 k 为整数，已知 sin（y+z﹣x），sin（x+z﹣y）， sin（x+y﹣z）成等差数列，则依然成等差数列的是（ ） A．sinx，siny，sinz B．cosx，cosy，cosz C．tanx，tany，tanz D．前三个答案都不对 【导引】先由题设条件⇒2sin（x+z﹣y）＝sin（y+z﹣x）+sin（x+y﹣z）＝2sinycos（z﹣x），再利用三角公式推导出tanx+tanz＝2tany，即可选出正确选项． 【解答】∵sin（y+z﹣x），sin（x+z﹣y），sin（x+y﹣z）成等差数列， ∴2sin（x+z﹣y）＝sin（y+z﹣x）+sin（x+y﹣z）＝2sinycos（z﹣x）， ∴sin（x+z﹣y）＝sinycos（z﹣x）， ∴sin（x+z）cosy﹣cos（x+z）siny＝sinycos（z﹣x）， ∴sin（x+z）cosy＝siny[cos（x+z）+cos（z﹣x）]＝2sinycosxcosz， ∴sinxcoszcosy+cosxsinzcosy＝2sinycosxcosz①， ∵x，y，z 均不为（k+ ）π，其中 k 为整数，∴cosx，cosy，cosz 均不为 0∴对式子①左右两侧同时除以 cosxcosycosz，可得：tanx+tanz＝2tany， ∴tanx，tany，tanz 成等差数列． 故选：C． （2020 年北京大学） 3. 数列{an}（n≥1）满足 a1＝1，a2＝9，且对任意 n≥1，有 an+2＝4an+1﹣3an﹣20，其前 n 项和为 Sn，则数列 Sn 的最大值等于（ ） A．28 B．35 C．47 D．前三个答案都不对 【导引】设 bn＝an+1﹣an，则 bn+1＝3bn﹣20，即可得到数列{bn﹣10}是以 a2﹣a1﹣10＝9 ﹣1﹣10＝﹣2 为首项，3 为公比的等比数列，从而求出 bn，利用累加法求出 an，当 n≥4 时，an﹣an﹣1＜0，此时数列为单调递减数列，再计算出数列{an}的前 4 项，又当 n≥5 时，an＜0，所以，则 Sn 的最大值可求． 【解答】数列{an}（n≥1）满足 a1＝1，a2＝9，且对任意 n≥1， 有 an+2＝4an+1﹣3an﹣20， 整理得 an+2﹣an+1＝3（an+1﹣an）﹣20， 设 bn＝an+1﹣an， 所以 bn+1＝3bn﹣20， 转换为 所以(常数)， 所以数列{bn﹣10}是以 a2﹣a1﹣10＝9﹣1﹣10＝﹣2 为首项，3 为公比的等比数列． 所以bn﹣10=（-2）×， 所以bn =（-2）×+10， 故an+1 - an =-（-2）×+10，… , 所以 a2 - a1=（-2）×+10, 所以 整理得． 则当 n≥4 时，an﹣an﹣1＜0，此时数列为单调递减数列，可求得 a1＝1，a2＝9，a3＝13，a4＝5， 当 n≥5 时，an＜0，则 Sn 的最大值为 S4＝28， 故选：A． （2020 年北京大学） 4. 正整数 n≥3 称为理想的，若存在正整数 1≤k≤n﹣1 使得 C，C，C构成等差数列，其中 C ＝为组合数，则不超过 2020 的理想数个数为（） A．40 B．41 C．42 D．前三个答案都不对 【导引】把题意转化为关于 k 的方程 4k2﹣4nk+n2﹣n﹣2＝0 有解，即 所以 n+2 为完全平方数，设 n+2＝m2，n≥7，根据 n≤2020 得到 44≥m≥3，再验证 m 取 [3，44]之间任何一个整数都满足题意即可． 【解