专题4.2 三角形的边-重难点题型-2021-2022学年七年级数学下册举一反三系列（北师大版）【学科网名师堂】

专题4.2 三角形的边-重难点题型 【北师大版】 【知识点1 三角形的三边关系】 三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段 长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 【题型1 三角形三边关系的应用】 【例1】（2021春•青浦区期中）如果一个三角形的两边长为2和5，那么这个三角形的周长可能是（　　） A．10 B．13 C．14 D．15 【分析】根据三角形三边关系定理求出第三边的范围，得到三角形的周长的范围，判断即可． 【解答】解：∵三角形的两边长为2和5， ∴第三边x的长度范围是5﹣2＜x＜5+2，即3＜x＜7， ∴这个三角形的周长a范围是2+5+3＜a＜5+2+7，即10＜a＜14， 故选：B． 【变式1-1】（2020秋•仓山区期末）某木材市场上木棒规格与对应价格如下表： 规格 1m 2m 3m 4m 5m 6m 价格（元/根） 10 15 20 25 30 35 小明的爷爷要做一个三角形木架养鱼用，现有两根长度分别为3m和5m的木棒，还需要到该木材市场购买一根木棒．则小明的爷爷至少带的钱数应为（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 【分析】根据三角形的三边关系可得5﹣2＜x＜5+2，再解出不等式可得x的取值范围，进而得到选择的木棒长度，然后根据木棒价格可直接选出答案． 【解答】解：设第三根木棒的长度为xm， 根据三角形的三边关系可得：5﹣2＜x＜5+2， 解得2＜x＜8， x＝3，4，5，6，7，共5种选择， 根据木棒的价格可得选3m最省钱， 所以小明的爷爷至少带的钱数应为20元， 故选：C． 【变式1-2】（2021春•九龙坡区校级月考）设a，b，c是△ABC的三边的长，化简|a﹣b+c|的结果是　 　． 【分析】可根据三角形的性质：两边之和大于第三边．依此对原式进行去根号和去绝对值． 【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三边的长， ∴a＜b+c，a+c＞b， ∴a﹣b﹣c＜0，a﹣b+c＞0，c+a+b＞0， ∴原式＝b+c﹣a﹣a+b﹣c﹣a﹣b﹣c ＝﹣3a+b﹣c， 故答案为：﹣3a+b﹣c． 【变式1-3】（2021春•西城区校级期中）长度为20厘米的木棍，截成三段，每段长度为整数厘米，请写出一种可以构成三角形的截法，此时三段长度分别为　 　，能构成三角形的截法共有　 　种．（只考虑三段木棍的长度） 【分析】已知三角形的周长，分别假设三角形的最长边，从而利用三角形三边关系进行验证即可求得不同的截法． 【解答】解：∵木棍的长度为20厘米，即三角形的周长为20厘米， ∴①当三角形的最长边为9厘米时，有4种截法，分别是：9厘米，9厘米，2厘米；9厘米，8厘米，3厘米；9厘米，7厘米，4厘米；9厘米，6厘米，5厘米； ②当三角形的最长边为8厘米时，有3种截法，分别是：8厘米，8厘米，4厘米；8厘米，7厘米，5厘米；8厘米，6厘米，6厘米； ③当三角形的最长边为7厘米时，有1种截法，是：7厘米，7厘米，6厘米； ∴能构成三角形的截法共有4+3+1＝8种． 故答案为：9厘米，9厘米，2厘米（答案不唯一）；8． 【题型2 三角形三边关系的证明】 【例2】（2020秋•安庆期中）已知：如图，点D是△ABC内一点． 求证： （1）BD+CD＜AB+AC； （2）AD+BD+CD＜AB+BC+AC． 【分析】（1）根据三角形的三边关系以及不等式的性质即可解决问题； （2）根据三角形的三边关系以及不等式的性质即可解决问题． 【解答】证明：（1）延长BD交AC于E， 在△ABE中，有AB+AE＞BE， 在△EDC中，有ED+EC＞CD， ∴AB+AE+ED+EC＞BE+CD， ∵AE+EC＝AC，BE＝BD+DE， ∴AB+AC+ED＞BD+DE+CD， ∴AB+AC＞BD+CD； （2）由（1）同理可得： AB+BC＞AD+CD， BC+AC＞BD+AD， AB+AC＞BD+CD， ∴2（AB+BC+AC）＞2（AD+BD+CD）， ∴AB+BC+AC＞AD+BD+CD． 【变式2-1】（2020秋•西林县期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D．试比较DA+DB+DC与（AB+BC+AC）的大小，写出推理过程． 【分析】由三角形的三边关系得：DA+DB＞AB，DB+DC＞BC，DA+DC＞AC，则2（DA+DB+DC）＞AB+BC+AC，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°， ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，