3.7切线长定理 教学设计 2021—2022学年北师大版数学九年级下册

3.7切线长定理教学设计 课题 切线长定理 单元 3 学科 数学 年级 九 学习 目标 1. 使学生理解切线长定义. 2. 使学生掌握切线长定理，并能初步运用. 重点 理解切线长定理并能应用. 难点 运用切线的性质定理解决问题． 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 导入新课 1.直线和圆有哪些位置关系？ 2.切线的性质是什么？ 同学们打篮球吗？当你把篮球夹在腋下时，你能从中抽象出什么样数学图形？ 学生自由讨论回答 让学生回顾直线与圆的位置关系，并在根据d=r判断直线和圆相切的过程中.明确用数量关系判断相切是常见的一种方法之一，在作图过程中体会判断圆的切线需要的条件，为下步归纳切线的判定定理作准备. 讲授新课 想一想:过圆外一点画圆的切线,你能画出几条? 学生迅速抢答:过圆外一点可以作一条、两条,还有的学生认为可以作无数条圆的切线.教师要求学生动手操作,教师巡视发现问题. 过圆外一点能画出两条圆的切线. 课件出示: 【议一议】　如图所示,PA,PB是☉O的两条切线,A,B是切点. 问题:(1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么? 学生分析:这个图形是轴对称图形,它的对称轴是点P,O所在的直线. 问题:(2)在这个图形中你能找到相等的线段吗? 想一想：切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？ 1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. 3、联系：都垂直于过切点的半径。 上面我们了解了切线长的概念,那么过圆外一点所画的圆的两条切线的长度有什么关系呢? 通过情境导入和上面对议一议第二个问题的探究,我们都得到了一个同样的结论切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等. 【想一想】　除了刚才我们利用轴对称的性质外,你还有其他的方法对切线长定理进行证明吗? 学生分析:根据“见切点连半径”的思路,可以构造出两个直角三角形,再根据切线的性质证明两个三角形全等就可以得出PA=PB. 已知:如图所示,PA,PB是☉O的两条切线,A,B是切点. 求证:PA=PB. 证明:连接OA,OB,PO. ∵PA,PB是☉O的切线, ∴∠PAO=∠PBO=90°. 在Rt△OPA和Rt△OPB中, ∵OA=OB,OP=OP, ∴Rt△OPA≌Rt△OPB. ∴PA=PB. 符号语言描述: 若线段PA,PB是☉O的切线,则PA=PB. 【想一想】　如图所示,四边形ABCD的四条边都与☉O相切,图中的线段之间有哪些等量关系?与同伴进行交流. 为帮助学生更好地解决问题,教师出示下面的图形,帮助学生进行分析. 代表发言:∵四边形ABCD为圆外切四边形,根据切线长定理可得:AH=AE,BE=BF,CF=CG,DG=DH. 【问题】　但是原图中并没有E,F,G,H四个点,显然题目的原意并不是要得出上面的四组线段相等,你还能得出线段之间的相等关系吗? 证明:∵AH=AE,BE=BF,CF=CG,DG=DH, ∴AB+CD=AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH=(AH+DH)+(BF+CF)= AD+BC, 即AB+CD=AD+BC. 例、如图所示,在Rt△ABC中,C=90°,AC=10,BC=24,☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,求☉O的半径. 学生思考后得出PA=PB.教师要求学生说说理由. 要求学生先独立解答,完成后同伴相互交流,代表板演展示.学生完成后,教师课件出示解答过程,供学生参考,规范他们的解题步骤. 学生仔细观察,找出图中相等的线段后,与同伴交流,统一答案 学生分组讨论,教师巡视并参与到学生的讨论当中去,对感觉有难度的学生及时进行点拨、指正.每组的代表把得到的结论写在黑板上,统一学生的答案,教师找学生说明理由. 学生自主解答，老师订正 通过切线长概念的探究过程,不但了解了切线长的概念,而且通过对相等线段的判断,使学生初步感知了切线长定理的证明方法,为下面定理的证明打下良好的基础. 通过对切线长定理的证明,不但加深了对切线长定理的印象,还进一步掌握了切线的辅助线的做法,一举两得. 通过探究,使学生对切线长定理有了更深刻的理解,同时利用切线长定理的拓展也提高了学生分析问题、解决问题的综合能力. 本节课的例题设计紧扣这堂课的知识点,通过对例题的解答,既巩固了本节课的重点,又培养了学生灵活应用切线长定理的能力. 课堂练习 1.如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是( ) A．4 B．8 C．4 D．8 2.如图，PA，PB均为⊙O的切线，切点分别为A，B，PO交