第32期 18.1 平行四边形(参考答案见33期)-【数理报】2021-2022学年下学期八年级下册初二数学（人教版）

书 平行四边形的判定方法较多，综合性较强，涉及平 行四边形元素的各方面，同时它又与平行四边形的性质 联系，判定一个四边形是否为平行四边形是利用平行四 边形性质解决其他问题的基础，所以平行四边形的判定 定理是本节的重点． 方法一、两组对边分别平行的四边形是平行四边形 例 １　 如图 １，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｂ＝∠Ｃ， Ｅ是边ＢＣ上一点，且ＤＥ＝ＤＣ． 求证：ＡＤ＝ＢＥ． 证明：因为ＤＥ＝ＤＣ，所以∠ＤＥＣ＝∠Ｃ．因为∠Ｂ ＝∠Ｃ，所以∠Ｂ＝∠ＤＥＣ．所以ＡＢ∥ＤＥ．又ＡＤ∥ＢＣ， 所以四边形ＡＢＥＤ是平行四边形．所以ＡＤ＝ＢＥ． 方法二、两组对边分别相等的四边形是平行四边形 例２　如图２，点Ａ是直线ｌ 外一点，在ｌ上取两点Ｂ，Ｃ，分别 以Ａ，Ｃ为圆心，ＢＣ，ＡＢ的长为半 径作弧，两弧交于点Ｄ，连接ＡＢ， ＡＤ，ＣＤ，若 ∠ＡＢＣ＋∠ＡＤＣ＝ １２０°，则∠Ａ的度数是 （　　） Ａ．１００°　　　Ｂ．１１０°　　　Ｃ．１２０°　　　Ｄ．１２５° 解析：因为ＡＤ＝ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ，所以四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形．所以 ∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ，ＡＤ∥ ＢＣ．因为 ∠ＡＢＣ＋∠ＡＤＣ＝１２０°，所以∠ＡＢＣ＝６０°．所以∠Ａ＝ １８０°－∠ＡＢＣ＝１２０°． 故选Ｃ． 方法三、两组对角分别相等的四边形是平行四边形 例 ３　 如图 ３，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｂ＝∠Ｄ． 求证：四边形 ＡＢＣＤ为平行四边 形． 证明：因为ＡＢ∥ＣＤ，所以∠Ｂ＋∠Ｃ＝１８０°，∠Ａ＋ ∠Ｄ＝１８０°．因为∠Ｂ＝∠Ｄ，所以∠Ａ＝∠Ｃ．所以四边 形ＡＢＣＤ为平行四边形． 方法四、对角线互相平分的四边形是平行四边形 例４　 如图４，已知在四边 形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，点Ｅ为ＣＤ 边上的中点，连接ＢＥ并延长，与 ＡＤ的延长线交于点Ｆ，连接ＣＦ， ＢＤ．求证：四边形 ＤＢＣＦ为平行 四边形． 证明：因为ＡＤ∥ＢＣ，所以∠ＣＢＥ＝∠ＤＦＥ，∠ＢＣＥ ＝∠ＦＤＥ．因为 Ｅ是 ＣＤ的中点，所以 ＣＥ＝ＤＥ．在 △ＢＥＣ和△ＦＥＤ中， ∠ＣＢＥ＝∠ＤＦＥ， ∠ＢＣＥ＝∠ＦＤＥ， ＣＥ＝ＤＥ { ， 所以△ＢＥＣ≌ △ＦＥＤ（ＡＡＳ）．所以ＢＥ＝ＦＥ．所以四边形ＤＢＣＦ为平行 四边形． 方法五、一组对边平行且相等的四边形是平行四边 形 例５　如图５，点 Ｅ，Ｆ分别 在 ＡＢＣＤ的边 ＢＣ，ＡＤ上，ＢＥ ＝ １３ＢＣ，ＦＤ＝ １ ３ＡＤ，连接ＢＦ， ＤＥ．求证：四边形 ＢＥＤＦ是平行 四边形． 证明：因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＤ＝ ＢＣ，ＡＤ∥ＢＣ．因为ＢＥ＝１３ＢＣ，ＦＤ＝ １ ３ＡＤ，所以ＢＥ＝ ＦＤ．所以四边形ＢＥＤＦ是平行四边形． 书 ３０期２版 １７．１勾股定理 １７．１．１认识勾股定理 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ；　３．５２；　４．１６３． ５．当点Ｃ离点Ｂ８ｃｍ时，△ＡＣＤ是以ＣＤ为斜边的直角三 角形． 能力提高　６．Ｂ． １７．１．２勾股定理的验证及应用 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｂ；　３．Ｄ；　４．Ｂ；　５．２；　６．５ｃｍ． ７．弯折点Ｂ与地面的距离为 ３２ ｍ． 能力提高　８．停车点应距Ａ点１２千米． １７．２勾股定理的逆定理 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ；　３．２４ｍ２． ４．（１）逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，成立； （２）逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角都是直角， 不成立． ５．∠ＡＤＣ是直角．理由略． 能力提高　６．（１）点Ｃ的坐标为（０，２４５）． （２）点Ｄ的坐标为（１２５，３）． ３０期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｄ Ｂ Ｂ Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ 二、９．２６；　１０．２．４；　１１．北偏西５８°； １２．２０；　１３．１０；　１４．３６或８４． 三、１５．这块玻璃板不能从门框内通过．理由略． １６．Ｓ阴影 ＝５２π－４８． １７．（１）∠Ｄ是直角．理由略． （２）Ｓ四边形ＡＢＣＤ ＝２３４． １８．ＥＣ的长为 ８３ ｃｍ． 附加题 　１．小动物爬行的最短路程 为２００ｃｍ． ２．（１）点Ｍ，Ｎ是线段ＡＢ的勾股分割 点．理由略． （２）ＢＮ的长为８或１０  ． ３１期检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ａ Ｃ Ｄ Ｂ Ｄ Ｃ Ｄ Ａ Ｄ Ｂ 二、１１．假；　１２．合格；　１３．４１；　１４．３；　１５．２； １６．ＡＢ，ＥＦ，ＧＨ；　１７．２；　１８．４８ｍ２或４０ｍ２或１００３ ｍ ２． 三、１９．应选在ＡＢ边上距Ａ点１５米处（或距Ｂ点３米处）． ２０．证明略． ２１．绳索长为７３６尺． ２２．ＥＣ＝７． ２３．ＣＤ＝ 槡３３ｃｍ． ２４．Ｓ△ＡＢＣ ＝６． ２５．在图１中：由勾股定理，得 Ａ