必考点03 平面向量的应用-【对点变式题】2021-2022学年高一数学下学期期中期末必考题精准练（人教A版2019必修第二册）

必考点03 平面向量的应用 题型一 向量在平面几何证明问题中的应用 【例1】（1）四边形中，，，则这个四边形是（       ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形 （2）在中，，动点M满足，则直线AM一定经过的（       ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【解题技巧提炼】用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)向量的线性运算法的四个步骤： ①选取基底； ②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； ④把计算所得结果转化为几何问题． (2)向量的坐标运算法的四个步骤： ①建立适当的平面直角坐标系； ②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找到相应关系； ④利用向量关系回答几何问题． 题型二 向量在物理中的应用 【例2】（1）物体受到一个水平向右的力及与它成60°角的另一个力的作用.已知的大小为2N，它们的合力F与水平方向成30°角，则的大小为（       ） A．3N B． C．2N D． （2）某人在静水中游泳时速度为4km/h，水的流向是由西向东，水流速度为2km/h，此人必须沿与水流方向成___________度角游泳，才能沿正北方向前进. 【解题技巧提炼】用向量方法解决物理问题的“三步曲” 题型三 利用正弦定理、余弦定理解三角形 【例3】（2021•天津）在中，内角，，的对边分别为，，，且，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【解题技巧提炼】 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素． (2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系． 题型四 面积问题 【例4】（2021•新高考Ⅱ）在中，角，，所对的边长为，，，，． （Ⅰ）若，求的面积； （Ⅱ）是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解题技巧提炼】 1．求三角形面积的方法 (1)若已知三角形的一个角(角的大小或该角的正、余弦值)及该角的两边长度，代入公式求面积； (2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，或直接代入海伦公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2．已知三角形面积求边、角的方法 (1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． 题型五 判断三角形的形状 【例5】（1）在中，若，则的形状是 A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 （2）在△中，若满足，则该三角形的形状为（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【解题技巧提炼】 1．判断三角形形状的2种常用途径 2．判断三角形的形状的注意点 在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 题型六 化简与证明 【例6】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设的面积为S﹐且满足． （1）求角C的大小； （2）求的最大值． 【解题技巧提炼】 解三角形中的最值或范围问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，结合角的范围确定最值.或范围 题型七 解三角形的实际应用 【例7】（1）福建省宁德市2021届高三毕业班第二次（5月）质量检查考试数学理试题）如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E．从D点测得∠ADC＝67.5°，从C点测得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，从E点测得∠BEC＝60°．若测得DC＝2，CE＝(单位：百米)，则A，B两点的距离为（ ） A． B．2 C．3 D．2 （2）（2021•甲卷）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，，在同一水平面上的投影，，满足，．由点测得点的仰角为，与的差为100；由点测得点的仰角为，则，两点到水平面的高度差约为　　 A．346 B．373 C．446 D．473 【例8】已知岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向