1.2.2 矩形的判定 课件 2021--2022学年北师大版九年级数学上册

矩形的判定 一 北师版九年级上册 1 创设情境，导入新课 有一个角是直角的平行四边形. 矩形的定义： 平行四边形 矩形 有一个角是直角 性质 边 角 对角线 矩形 矩形的对边平行且相等. 矩形的两条对角线相等且互相平分. 矩形的四个角都是直角. 探究新知，经历过程 探索活动 如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化. 点击播放 （1）随着∠α 的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？ （2）当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？ 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 已知：如图，在 □ ABCD 中，AC ，DB 是它的两条对角线，AC = DB. 求证：□ ABCD 是矩形. 证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB = DC，AB∥DC. 又∵BC = CB，AC = DB， ∴△ABC≌△DCB. ∴∠ABC=∠DCB. ∵AB∥DC，∴∠ABC+ ∠DCB = 180°. ∴∠ABC=∠DCB= 90°. ∴□ABCD 是矩形（矩形的定义）. 定理 对角线相等的平行四边形是矩形. 四边形 ABCD 是矩形 □ ABCD AC = BD 我们知道，矩形的四个角都是直角.反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论， 并与同伴交流. 想一想 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形吗? 已知:如图，在四边形 ABCD, ∠A =∠B=∠C = 90°. 求证: 四边形 ABCD 是矩形. 证明: ∵∠A =∠B =∠C= 90°, ∴∠A+∠B = 180°, ∠B +∠C=180°. ∴AD∥BC，AB∥CD. ∴四边形 ABCD 是平行四边形. ∴四边形 ABCD 是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形. 定理 ∠A =∠B =∠C = 90° 四边形 ABCD 是矩形 1. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是平行四边形呢？ 议一议 用绳子测量四边形的两对边是否相等，相等则是平行四边形. 2. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是菱形呢？ 议一议 拿绳子测量四边形的每一个边长，如果四边长度一样，那么根据菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形。 3. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是矩形呢？ 议一议 先用绳子测量四边形的两对边是否相等，相等则是平行四边形. 再用绳子测量对角线是否相等. 对角线相等的平行四边形是矩形. 例2 如图在 □ ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，△ABO 是等边三角形，AB = 4. 求 □ ABCD 的面积. 解: ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴OA = OC,OB = OD. 又∵△ABO 是等边三角形， ∴OA = OB = AB = 4. ∴OA = OB = OC = OD = 4. ∴AC = BD = 2OA = 2×4 = 8. ∴□ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）. ∴∠ABC = 90°（矩形的四个角都是直角）. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2+BC2 = AC2， ∴BC= ∴S□ABCD = AB·BC = 4× = . 已知：如图，在 □ ABCD 中，M 是 AD 边的中点， 且MB = MC. 求证：四边形 ABCD 是矩形. 【选自教材P16 随堂练习】 巩固练习，深化提高 证明：在□ ABCD 中，AB = CD，M 是 AD 边的中点， ∴MA = MD，且 MB = MC，即△ABM≌△DCM，∴∠A =∠D. 又∵∠A +∠D = 180°， ∴∠A =∠D = 90°. ∴四边形 ABCD 是矩形. 【选自教材P16 习题1.5 第1题】 2. 如图，在△ABC中，AD 为 BC 边上的中线，延长 AD 至 E，使 DE = AD，连接 BE，CE. （1）试判断四边形 ABEC 的形状； （2）当△ABC 满足什么条件时，四边形 ABEC 是矩形？ 解:（1）四边形 ABEC 是平行四边形． （2）当△ABC 满足∠BAC＝90°时,四边形 ABEC 是矩形． 【选自教材P16 习题1.5 第2题】 3. 如图，点 B 在 MN 上，过 AB 的中点 O 作 MN 的平行线， 分别∠ABM 的平分线和∠ABN 的平分线于点 C，D. 试判断四边形 ACBD 的形状，并证明你的结论. 证明: ∵CD ∥MN , BC, BD 分别为