2.5.3切线长定理 课件---2021-2022学年湘教版九年级数学下册

2.5.3切线长定理 教学目标 1. 理解切线长的概念； 2. 通过探究、发现和证明，掌握切线长定理； 3. 能运用切线长定理解答问题； 4. 归纳运用切线长定理的解题解题规律，提高解题能力. 新知导入 经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 1. 切线的判定定理是什么？ 圆的切线垂直于过切点的半径. 2. 圆的切线有什么性质？ 3. 解决与切线问题，常作的辅助线及解题方法有哪些？ 口诀：连半径，想垂直；做垂直，思距离. 新知讲解 如图，将三角尺的一条直角边过⊙O外一点P及圆上一点A，另一条直角边过圆心O，然后作直线PA，则PA是⊙O的切线.用同样的方法作出切线PB。你能说出PA和PB是⊙O的切线的理由吗？ 说一说 因为PA经过半径OA的外端，且PA⊥OA，所以PA是⊙O的切线. 新知讲解 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长。如图，线段PA，PB的长度是点P到⊙O的切线长。 新知讲解 在透明纸上画出右图，设PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，沿直线OP将图形对折，你发现了什么？ 探究 新知讲解 我把图形沿直线OP对折后，发现线段PA与线段PB重合，∠APO与∠BPO重合。即PA=PB，∠APO=∠BPO. 新知讲解 由此我们猜测： 过圆外一点所作圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 新知讲解 我们的猜测是真的吗？如何证明？ 我们知道，解决与切线有关的问题可以连半径。连接OA，OB，如右图，得到Rt△PAO和Rt△PBO，若能证明Rt△PAO≌△PBO，问题就解决了。 新知讲解 证明：连接OA，OB，如右图. ∵ PA，PB是⊙O的切线， ∴ ∠ PAO=∠PBO=90°， 即△PAO和△PBO均为直角三角形. 又∵ OA= OB，OP= OP， ∴ △PAO ≌△PBO. ∴ PA=PB ， ∠APO=∠BPO. 由此得到切线长定理： 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 新知讲解 新知导入 例5 如图，AD是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA和CB是⊙O的切线，A和B是切点，连接BD. 求证：CO∥BD. 分析： 因为AD为直径，连接AB，那么∠ABD=90°，即BD⊥AB。因此要证CO∥BD，只要利用切线长定理证CO ⊥AB即可. O A B C D 新知导入 证明：连接AB. ∵ CA，CB是⊙O的切线， ∴ CA=CB，∠ACO=∠BCO， ∴ CO ⊥AB. O A B C D ∵ AD是⊙O的直径， ∴ ∠ABD=90°， 即 BD⊥AB ∴ CO∥BD. 课堂总结 1. 什么叫做切线长？ 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长. 2. 什么叫做切线长定理？ 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 课堂总结 3. 运用切线长定理解题时，有哪些常作的辅助线？ 连半径、作直径所对的圆周角、连两切点、连圆心与圆外两切线的公共点. 4. 运用切线长定理时，常用到以前学过的哪些知识？ 直角三角形、等腰三角形和全等三角形的性质和判定等基本知识. 巩固练习 第72页课后练习第1、2题： 1. 如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD，AB，BC相切，切点分别为D，E，C.设半圆的半径为2，AB=5，求四边形ABCD的周长. 解：∵半圆O与AD，AB，BC相切， ∴ AD=AE，BC=BE， ∴ AD+BC=AE+BE=AB. ∴ 四边形ABCD的周长为： AD+BC+AE+BE+CD=AB+AB+CD=14. 2. 如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，点A，B为切点，若OP=4，PA=，求∠AOB的度数. 思路引导： 1. ∵ PA是⊙O的切线，∴ PA⊥PB. 2. 在Rt△PAO中，利用锐角三角函数 求出∠AOP. 3. 同理求出∠BOP，即可求∠AOB. 巩固练习 解： ∵PA是⊙O的切线， ∴ PA⊥PB. 在Rt△PAO中，OP=4，PA=， ∴ sin∠AOP===. ∴ ∠AOP=60° . 同理得 ∠BOP=60°， ∴ ∠AOB=120°. 巩固练习 能力提升 3. (资阳中考)如图，已知AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB=60°. (1)求∠BAC的度数； (2)若PA=1，求点O到AB的弦长. 能力提升 解：(1)∵ PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B， ∴ PA=PB. 又∵ ∠APB=60°， ∴ △PAB是等边三角形. ∴ ∠PAB==6