16 专题十六：参数型函数与方程思想——构造方程解参 2022年中考复习二次函数压轴题题型分类突破练习

1．（2021•大连）已知函数y，记该函数图象为G． （1）当m＝2时， ①已知M（4，n）在该函数图象上，求n的值； ②当0≤x≤2时，求函数G的最大值． （2）当m＞0时，作直线xm与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若∠POQ＝45°时，求m的值； （3）当m≤3时，设图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作BC⊥BA交直线x＝m于点C，设点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若a＝﹣3c，求m的值． 1．解：（1）当m＝2时，y， ①∵M（4，n）在该函数图象上， ∴n＝42﹣2×4+2＝10； ②当0≤x＜2时，yx2x+2（x）2+2， ∵0， ∴当x时，y有最大值是2， 当x＝2时，y＝22﹣2×2+2＝2， ∵2＜2， ∴当0≤x≤2时，函数G的最大值是2； （2）分两种情况： ①如图1，当Q在x轴上方时，由题意得：OPm， ∵∠POQ＝45°，∠OPQ＝90°， ∴△POQ是等腰直角三角形， ∴OP＝PQ， ∴mm+m， 解得：m1＝0，m2＝6， ∵m＞0， ∴m＝6； ②当Q在x轴下方时，同理得：mm 解得：m1＝0，m2＝14， ∵m＞0， ∴m＝14； 综上，m的值是6或14； （3）分两种情况： ①如图2，当0≤m≤3时，过点C作CD⊥y轴于D， 当x＝0时，y＝m， ∴OB＝m， ∵CD＝m， ∴CD＝OB， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝∠ABO+∠CBD＝90°， ∵∠CBD+∠BCD＝90°， ∴∠ABO＝∠BCD， ∵∠AOB＝∠CDB＝90°， ∴△ABO≌△BCD（ASA）， ∴OA＝BD， 当x＜m时，y＝0，即x2x+m＝0， x2﹣x﹣2m＝0， 解得：x1，x2， ∴OA，且m≤3， ∵点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若a＝﹣3c， ∴OD＝ca， ∴BD＝m﹣OD＝ma， ∵OA＝BD， ∴m， 解得：m1＝0（此时，A，B，C三点重合，舍），m2； ②当m＜0时，如图3，过点C作CD⊥y轴于D， 同理得：OA＝BD， 当x≥m时，y＝0，则x2﹣mx+m＝0， 解得：x1，x2（舍）， ∴OAa， ∴c﹣ma﹣m， 解得：m1＝0，m2； 综上，m的值是或． 2．（2020•江汉区校级一模）已知：抛物线y＝ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6（a＞0）． （1）求证：抛物线与x轴有两个交点． （2）设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2（其中x1＞x2）．若t是关于a的函数、且t＝ax2﹣x1，求这个函数的表达式； （3）若a＝1，将抛物线向上平移一个单位后与x轴交于点A、B．平移后如图所示，过A作直线AC，分别交y的正半轴于点P和抛物线于点C，且OP＝1．M是线段AC上一动点，求2MB+MC的最小值． 2．（1）证明：Δ＝b2﹣4ac＝[﹣3（a﹣1）]2﹣4a（2a﹣6）＝a2+6a+9＝（a+3）2， ∵a＞0， ∴（a+3）2＞0， ∴抛物线与x轴有两个交点； （2）解：令y＝0，则ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6＝0， ∴或， ∵a＞0， ∴且x1＞x2， ∴x1＝2，， ∴， ∴t＝a﹣5； （3）解：当a＝1时，则y＝x2﹣4， 向上平移一个单位得y＝x2﹣3， 令y＝0，则x2﹣3＝0， 得， ∴，， ∵OP＝1， ∴直线， 联立：， 解得，，， 即，， ∴AO， 在Rt△AOP中， AP2， 过C作CN⊥y轴，过M作MG⊥CN于G，过C作CH⊥x轴于H， ∵CN∥x轴， ∴∠GCM＝∠PAO， 又∵∠AOP＝∠CGM＝90°， ∴△AOP∽△CGM， ∴， ∴， ∵B到CN最小距离为CH， ∴MB+GM的最小值为CH的长度， ∴2MB+MC的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $