15 专题十五：参数型函数与几何代数式最值问题 2022年中考复习二次函数压轴题题型分类突破练习

1．（2021秋•白云区期末）已知抛物线y＝x2+mx+n与x轴的负、正半轴分别交于A，B两点，与y轴的负半轴交于点D，点C是抛物线的顶点．

（1）若OA﹣OB＝2，求该抛物线的对称轴；

（2）在（1）的条件下，连接AD，CD，若AD⊥CD，求该抛物线的解析式；

（3）若OA﹣OB＝2p，点D的坐标为（0，﹣|p|），请判断点C是否存在最高点或最低点，若存在，求该点的坐标；若不存在，请说明理由．

1．解：（1）令y＝0，则x2+mx+n＝0，

∴x1+x2＝﹣m，

∵OA﹣OB＝2，

∴﹣（x1+x2）＝m＝2，

∴y＝x2+2x+n＝（x+1）2+﹣1+n，

∴对称轴为直线x＝﹣1；

（2）过点C作CE⊥y轴交于点E，

∵y＝x2+2x+n，

∴D（0，n），C（﹣1，n﹣1），

∴DE＝n﹣n+1＝1，

∴∠CDE＝45°，

∵AD⊥CD，

∴∠ADC＝90°，

∴∠ADO＝45°，

∴AO＝DO，

∴A（n，0），

∴n2+2n+n＝0，

∴n＝0（舍）或n＝﹣3，

∴y＝x2+2x﹣3；

（3）不存在，理由如下：

∵OA﹣OB＝2p，

∴m＝2p，

∵点D的坐标为（0，﹣|p|），

∴n＝﹣|p|，

∴y＝x2+mx+n＝x2+2px﹣|p|＝（x+p）2﹣p2﹣|p|，

∴C（﹣p，﹣p2﹣|p|），

∵|p|≥0，

∴﹣p2﹣|p|≤0，

∴当p＝0时，﹣p2﹣|p|有最大值0，

此时抛物线为y＝x2，抛物线与x轴只有一个交点，不符合题意，

∴点C不存在最高点或最低点．

 

 

2．（2020秋•白云区期末）已知抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a是常数）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．顶点D不在第二象限，记△ABC的面积为S1，△ACD的面积为S2．

（1）当S1＝3时，求抛物线对应函数的解析式；

（2）判断是否为定值，如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；

（3）当a取每一个确定的值时，把抛物线y＝ax2+2ax﹣3a向右平移a个单位后，得到函数y1的图象．当0≤x≤a+1时，结合图象，求y1的最大值与最小值的平均数（用含a的式子表示）．

2．解：y＝ax2+2ax﹣3a（a是常数）与x轴交于A，B两点，

则令y＝ax2+2ax﹣3a＝0，解得x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝﹣3a，

故点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3a），

则抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝ax2+2ax﹣3a＝﹣4a，

故点D的坐标为（﹣1，﹣4a）；

∵抛物线和x轴有两个交点，且顶点D不在第二象限，

则抛物线的顶点在第三象限，则a＞0，函数大致图象如下：

（1）由题意得：S1AB×OC4×3a＝6a＝3，

解得a，

故抛物线的表达式为yx2+x；

 

（2）是定值2，理由：

过点D作DH⊥y轴于点H，

则S2＝S梯形ADHO﹣S△CDH﹣S△ACO（1+3）×4a1×（﹣3a+4a）3×3a＝3a，

由（1）知S1＝6a，

故2；

 

（3）∵抛物线y＝ax2+2ax﹣3a向右平移a个单位后，得到函数y1的图象，

根据平移的性质，y1＝a（x﹣a）2+2a（x﹣a）﹣3a＝ax2+2a（1﹣a）x+（a3﹣2a2﹣3a），

由平移的性质知，平移后的抛物线对称轴为直线x＝﹣1+a，