15 专题十五：参数型函数与几何代数式最值问题 2022年中考复习二次函数压轴题题型分类突破练习

1．（2021秋•白云区期末）已知抛物线y＝x2+mx+n与x轴的负、正半轴分别交于A，B两点，与y轴的负半轴交于点D，点C是抛物线的顶点． （1）若OA﹣OB＝2，求该抛物线的对称轴； （2）在（1）的条件下，连接AD，CD，若AD⊥CD，求该抛物线的解析式； （3）若OA﹣OB＝2p，点D的坐标为（0，﹣|p|），请判断点C是否存在最高点或最低点，若存在，求该点的坐标；若不存在，请说明理由． 1．解：（1）令y＝0，则x2+mx+n＝0， ∴x1+x2＝﹣m， ∵OA﹣OB＝2， ∴﹣（x1+x2）＝m＝2， ∴y＝x2+2x+n＝（x+1）2+﹣1+n， ∴对称轴为直线x＝﹣1； （2）过点C作CE⊥y轴交于点E， ∵y＝x2+2x+n， ∴D（0，n），C（﹣1，n﹣1）， ∴DE＝n﹣n+1＝1， ∴∠CDE＝45°， ∵AD⊥CD， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ADO＝45°， ∴AO＝DO， ∴A（n，0）， ∴n2+2n+n＝0， ∴n＝0（舍）或n＝﹣3， ∴y＝x2+2x﹣3； （3）不存在，理由如下： ∵OA﹣OB＝2p， ∴m＝2p， ∵点D的坐标为（0，﹣|p|）， ∴n＝﹣|p|， ∴y＝x2+mx+n＝x2+2px﹣|p|＝（x+p）2﹣p2﹣|p|， ∴C（﹣p，﹣p2﹣|p|）， ∵|p|≥0， ∴﹣p2﹣|p|≤0， ∴当p＝0时，﹣p2﹣|p|有最大值0， 此时抛物线为y＝x2，抛物线与x轴只有一个交点，不符合题意， ∴点C不存在最高点或最低点． 2．（2020秋•白云区期末）已知抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a是常数）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．顶点D不在第二象限，记△ABC的面积为S1，△ACD的面积为S2． （1）当S1＝3时，求抛物线对应函数的解析式； （2）判断是否为定值，如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由； （3）当a取每一个确定的值时，把抛物线y＝ax2+2ax﹣3a向右平移a个单位后，得到函数y1的图象．当0≤x≤a+1时，结合图象，求y1的最大值与最小值的平均数（用含a的式子表示）． 2．解：y＝ax2+2ax﹣3a（a是常数）与x轴交于A，B两点， 则令y＝ax2+2ax﹣3a＝0，解得x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝﹣3a， 故点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3a）， 则抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝ax2+2ax﹣3a＝﹣4a， 故点D的坐标为（﹣1，﹣4a）； ∵抛物线和x轴有两个交点，且顶点D不在第二象限， 则抛物线的顶点在第三象限，则a＞0，函数大致图象如下： （1）由题意得：S1AB×OC4×3a＝6a＝3， 解得a， 故抛物线的表达式为yx2+x； （2）是定值2，理由： 过点D作DH⊥y轴于点H， 则S2＝S梯形ADHO﹣S△CDH﹣S△ACO（1+3）×4a1×（﹣3a+4a）3×3a＝3a， 由（1）知S1＝6a， 故2； （3）∵抛物线y＝ax2+2ax﹣3a向右平移a个单位后，得到函数y1的图象， 根据平移的性质，y1＝a（x﹣a）2+2a（x﹣a）﹣3a＝ax2+2a（1﹣a）x+（a3﹣2a2﹣3a）， 由平移的性质知，平移后的抛物线对称轴为直线x＝﹣1+a， ∵﹣1+a＜a+1， 故x＝a+1在新抛物线对称轴的右侧． ①当x＝a﹣1≤0时，即x＝0在x＝a﹣1的右侧，即0＜a≤1， 当0＜a≤1时，则a+1＜2，则抛物线在x＝a+1时取得最大值， 而在x＝0时取得最小值； 当x＝a+1时，y1＝ax2+2a（1﹣a）x+（a3﹣2a2﹣3a）＝0， 当x＝0时，y1＝ax2+2a（1﹣a）x+（a3﹣2a2﹣3a）＝a3﹣2a2﹣3a， 则y1的最大值与最小值的平均数（a3﹣2a2﹣3a）a3﹣a2a； ②当a﹣1＞0时， 则此时，顶点的横坐标0＜a﹣1≤a+1， 当x＝a﹣1时，y1取得最小值为y1＝a（a﹣1）2+2a（1﹣a）（a﹣1）+（a3﹣2a2﹣3a）＝﹣4a， 当a﹣1﹣0＜a+1﹣（a﹣1），即1＜a＜3， 则当x＝a+1时，y1的最大值为0， ∴y1的最大值与最小值的平均数2a， 当a﹣1﹣0≥a+1﹣（a﹣1），即a≥3， 当x＝0时，y1取得最大值，此时y1＝a3﹣2a2﹣3a， 则y1的最大值与最小值的平均数； 即y1的最大值与最小值的平均数． 3．（2018•大庆）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，4）． （1）求抛物线的解析式； （2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值； （3）点D为抛物线对称轴上一