13 专题十三：参数型函数与区间最值问题 2022年中考复习二次函数压轴题题型分类突破练习

1．（2020秋•越秀区期末）已知抛物线G：y＝ax2+bx+c过点A（1，1+b+c），B（﹣1，1+b）．

（1）用含b的式子表示c；

（2）设抛物线G的顶点坐标是（h，k），经过探究发现，随着b的值的变化，抛物线G的顶点的纵坐标k与横坐标h之间存在一个函数关系，求这个函数关系式；

（3）若0＜b＜8，当﹣6≤x≤2时，y＝ax2+bx+c的最大值与最小值之差是25，求b的值．

1．解：（1）∵抛物线G：y＝ax2+bx+c过点A（1，1+b+c），B（﹣1，1+b），

∴，

解得a＝1，c＝2b；

（2）∵a＝1，c＝2b，

∴抛物线G为：y＝x2+bx+2b，

∵y＝x2+bx+2b＝（x）22b，

∴h，k2b，

∴k2b＝﹣h2﹣4h；

（3）∵y＝x2+bx+2b＝（x）22b，

∴当x时，函数有最小值2b，

①当2，即4≤b＜8时，函数的最大值是x＝2时的函数值为4b+4，

∴4b+4﹣（2b）＝25，整理得b2+8b﹣84＝0，

解得b1＝6，b2＝﹣14（舍去），

②当﹣20，即0＜b＜4时，函数的最大值是x＝﹣6时的函数值为﹣4b+36，

∴﹣4b+36﹣（2b）＝25，整理得b2﹣24b+44＝0，

解得b1＝2，b2＝22（舍去），

综上b的值为6或2．

2．（2021秋•恩施市期末）已知抛物线y＝（m+1）x2﹣（2m﹣3）x+m﹣2的图象与x轴有两个公共点．

（1）求m的取值范围，写出当m取其范围内最大整数时抛物线的解析式；

（2）将（1）中所求得的抛物线记为C1，

①求C1的顶点P的坐标；

②是否存在n的值，使得当1≤x≤n时，y的取值范围是2≤y≤2n，若存在，求n的值；若不存在，请说明理由；

2．解：（1）∵抛物线y＝（m+1）x2﹣（2m﹣3）x+m﹣2的图象与x轴有两个公共点，

∴，

解得：m，且m≠﹣1．

当m取最大整数时，其值为2，此时函数解析式为：y＝3x2﹣x．

（2）①∵y＝3x2﹣x＝3（x）2，

∴C1的顶点P的坐标为（，）．

②存在，理由如下：

∵a＝3＞0，抛物线的对称轴为直线x，

∴当x时，y随x的增大而增大．

∵当1≤x≤n时，y的取值范围是2≤y≤3n2﹣n，

∴3n2﹣n＝2n，

∴n＝1或n＝0．

∵n≥1，

∴n＝1，即存在n＝1，使得当1≤x≤n时，y的取值范围是2≤y≤2n．

3．（2021秋•天河区期末）已知二次函数y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a．

（1）当a＝1时，求该二次函数的最大值；

（2）若该二次函数图象与坐标轴有两个交点，求实数a的值；

（3）若该二次函数在x有最大值﹣3，求实数a的值．

3．解：（1）∵a＝1时，y＝﹣9x2﹣6x+1＝﹣（3x+1）2+2＝﹣9（x）2+2，

∴x时，y＝2为函数最大值．

（2）∵二次函数图象与坐标轴有两个交点时，抛物线顶点落在x轴上，或抛物线经过原点，

①抛物线顶点在x轴上时，令﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a＝0，

Δ＝（﹣6a）2﹣4×（﹣9）（﹣a2+2a）＝72a，

∴72a＝0，

解得a＝0，

当a＝0时，﹣a2+2a＝0，抛物线经过原点，不满足题意．

②抛物线经过原点时，﹣a2+2a＝0，

解得a＝0（舍）或a＝2，

a＝2时，72a＝144＞0，满足题意．

综上所述，a＝2．

（3）∵y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a＝﹣9（x）2+2a，

∴抛物线开口向下，顶点坐标为（，2a），

①当时，﹣1≤a≤1，

y＝2a为函数最大值，

∴2a＝﹣3，

解得a，不符合题意．

②当时，即a＞1，

x时，y随x增大而减小，

∴x时，y取最大值，

即﹣92a﹣a2+2a＝﹣3，

解得a＝2或a＝2（舍）．

③当时，即a＜﹣1，

x时，y随x增大而增大，

∴x时，y取最大值，

即﹣92a﹣a2+2a＝﹣3，

解得a或a（舍）．

综上所述，a＝2或a．