13 专题十三：参数型函数与区间最值问题 2022年中考复习二次函数压轴题题型分类突破练习

1．（2020秋•越秀区期末）已知抛物线G：y＝ax2+bx+c过点A（1，1+b+c），B（﹣1，1+b）． （1）用含b的式子表示c； （2）设抛物线G的顶点坐标是（h，k），经过探究发现，随着b的值的变化，抛物线G的顶点的纵坐标k与横坐标h之间存在一个函数关系，求这个函数关系式； （3）若0＜b＜8，当﹣6≤x≤2时，y＝ax2+bx+c的最大值与最小值之差是25，求b的值． 1．解：（1）∵抛物线G：y＝ax2+bx+c过点A（1，1+b+c），B（﹣1，1+b）， ∴， 解得a＝1，c＝2b； （2）∵a＝1，c＝2b， ∴抛物线G为：y＝x2+bx+2b， ∵y＝x2+bx+2b＝（x）22b， ∴h，k2b， ∴k2b＝﹣h2﹣4h； （3）∵y＝x2+bx+2b＝（x）22b， ∴当x时，函数有最小值2b， ①当2，即4≤b＜8时，函数的最大值是x＝2时的函数值为4b+4， ∴4b+4﹣（2b）＝25，整理得b2+8b﹣84＝0， 解得b1＝6，b2＝﹣14（舍去）， ②当﹣20，即0＜b＜4时，函数的最大值是x＝﹣6时的函数值为﹣4b+36， ∴﹣4b+36﹣（2b）＝25，整理得b2﹣24b+44＝0， 解得b1＝2，b2＝22（舍去）， 综上b的值为6或2． 2．（2021秋•恩施市期末）已知抛物线y＝（m+1）x2﹣（2m﹣3）x+m﹣2的图象与x轴有两个公共点． （1）求m的取值范围，写出当m取其范围内最大整数时抛物线的解析式； （2）将（1）中所求得的抛物线记为C1， ①求C1的顶点P的坐标； ②是否存在n的值，使得当1≤x≤n时，y的取值范围是2≤y≤2n，若存在，求n的值；若不存在，请说明理由； 2．解：（1）∵抛物线y＝（m+1）x2﹣（2m﹣3）x+m﹣2的图象与x轴有两个公共点， ∴， 解得：m，且m≠﹣1． 当m取最大整数时，其值为2，此时函数解析式为：y＝3x2﹣x． （2）①∵y＝3x2﹣x＝3（x）2， ∴C1的顶点P的坐标为（，）． ②存在，理由如下： ∵a＝3＞0，抛物线的对称轴为直线x， ∴当x时，y随x的增大而增大． ∵当1≤x≤n时，y的取值范围是2≤y≤3n2﹣n， ∴3n2﹣n＝2n， ∴n＝1或n＝0． ∵n≥1， ∴n＝1，即存在n＝1，使得当1≤x≤n时，y的取值范围是2≤y≤2n． 3．（2021秋•天河区期末）已知二次函数y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a． （1）当a＝1时，求该二次函数的最大值； （2）若该二次函数图象与坐标轴有两个交点，求实数a的值； （3）若该二次函数在x有最大值﹣3，求实数a的值． 3．解：（1）∵a＝1时，y＝﹣9x2﹣6x+1＝﹣（3x+1）2+2＝﹣9（x）2+2， ∴x时，y＝2为函数最大值． （2）∵二次函数图象与坐标轴有两个交点时，抛物线顶点落在x轴上，或抛物线经过原点， ①抛物线顶点在x轴上时，令﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a＝0， Δ＝（﹣6a）2﹣4×（﹣9）（﹣a2+2a）＝72a， ∴72a＝0， 解得a＝0， 当a＝0时，﹣a2+2a＝0，抛物线经过原点，不满足题意． ②抛物线经过原点时，﹣a2+2a＝0， 解得a＝0（舍）或a＝2， a＝2时，72a＝144＞0，满足题意． 综上所述，a＝2． （3）∵y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a＝﹣9（x）2+2a， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为（，2a）， ①当时，﹣1≤a≤1， y＝2a为函数最大值， ∴2a＝﹣3， 解得a，不符合题意． ②当时，即a＞1， x时，y随x增大而减小， ∴x时，y取最大值， 即﹣92a﹣a2+2a＝﹣3， 解得a＝2或a＝2（舍）． ③当时，即a＜﹣1， x时，y随x增大而增大， ∴x时，y取最大值， 即﹣92a﹣a2+2a＝﹣3， 解得a或a（舍）． 综上所述，a＝2或a． 4．（2017•大连）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，且经过点A（0，） （1）若此抛物线经过点B（2，），且与x轴相交于点E，F． ①填空：b＝　﹣2a﹣1　（用含a的代数式表示）； ②当EF2的值最小时，求抛物线的解析式； （2）若a，当0≤x≤1，抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时，求b的值． 4．解：（1）①∵抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，且经过点A（0，）， ∴c， ∵抛物线经过点B（2，）， ∴4a+2b， ∴b＝﹣2a﹣1， 故答案为：﹣2a﹣1； ②由①可得抛物线解析式为y＝ax2﹣（2a+1）x， 令y＝0可得ax2﹣（2a+1）x0， ∵△＝（2a+1）2﹣4a4a2﹣2a+1＝4（a）20， ∴方程有两个不相等的实数根，设为x1、x2， ∴x1+x2，x1x2， ∴EF2＝（x1﹣x2）2＝（x1+