11 专题十一：参数型函数与对称轴 2022年中考复习二次函数压轴题题型分类突破练习

1．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+b的图象经过点A（1，0），B（x2，0），与y轴正半轴交于C点，且S△ABC＝2，求二次函数的解析式． 1．解：对称轴为直线x2， ∵函数图象与经过点A（1，0），B（x2，0）， ∴B（3，0），AB＝3﹣1＝2， 令x＝0，则y＝b， ∴S△ABC2•b＝2， ∴b＝2， 把A（1，0）代入二次函数解析式得，a﹣4a+2＝0， 解得a， ∴二次函数的解析式为：yx2x+2． 2．直线y＝﹣x﹣1与抛物线y＝ax2+4ax+b交于x轴上A点和另一点D，抛物线交y轴于C点，且CD∥x轴，求抛物线解析式． 2．解：如图，∵直线y＝﹣x﹣1交于x轴上A点， ∴A（﹣1，0）， ∵抛物线y＝ax2+4ax+b交于x轴上A点， ∴a﹣4a+b＝0， ∴b＝3a， 由抛物线y＝ax2+4ax+b可知C（0，b）， ∵CD∥x轴， ∴C、D是对称点，且D的纵坐标为b， ∵抛物线的对称轴是：x＝﹣2， ∴D（﹣4，b）， ∵点D在直线y＝﹣x﹣1上， ∴b＝4﹣1＝3， ∴a＝1， ∴抛物线解析式为y＝x2+4x+3． 3．（2021秋•黄埔区期末）如图，抛物线y＝mx2﹣4mx﹣5m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． （1）求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标； （2）证明△BCM与△ABC的面积相等； （3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由． 3．解：（1）∵y＝m（x﹣2）2﹣9m， ∴抛物线顶点M的坐标为（2，﹣9m）， ∵抛物线与x轴交于A、B两点， ∴当y＝0时，mx2﹣4mx﹣5m＝0， ∵m＞0， ∴x2﹣4x﹣5＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝5， ∴A，B两点的坐标为（﹣1，0）、（5，0）， （2）当x＝0时，y＝﹣5m， ∴点C的坐标为（0，﹣5m）， ∴S△ABC|5﹣（﹣1）|×|﹣5m|＝15m， 过点M作MD⊥x轴于D， 则OD＝2，BD＝OB﹣OD＝3，MD＝|﹣9m|＝9m， ∴S△BCM＝S△BDM+S梯形OCMD﹣S△OBC， BD•DM（OC+DM）•ODOB•OC， ＝15m， ∴S△ABC＝S△BCM， （3）存在使△BCM为直角三角形的抛物线． 过点C作CN⊥DM于点N，则△CMN为直角三角形，CN＝OD＝2，DN＝OC＝5m， ∴MN＝DM﹣DN＝4m， ∴CM2＝CN2+MN2＝4+16m2， 在Rt△OBC中，BC2＝OB2+OC2＝25+25m2， 在Rt△BDM中，BM2＝BD2+DM2＝9+81m2． ①如果△BCM是直角三角形，且∠BMC＝90°时，CM2+BM2＝BC2， 即4+16m2+9+81m2＝25+25m2，解得　， ∵m＞0， ∴． ∴存在抛物线使得△BCM是直角三角形； ②如果△BCM是直角三角形，且∠BCM＝90°时，BC2+CM2＝BM2． 即25+25m2+4+16m2＝9+81m2，解得　， ∵m＞0， ∴． ∴存在抛物线使得△BCM是Rt△； ③∵25+25m2＞4+16m2，9+81m2＞4+16m2， ∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在， 综上，存在抛物线和使△BCM是直角三角形． 4．（2020秋•海珠区期末）已知抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣2，点O为平面直角坐标系原点，点A坐标为（5，1）． （1）若抛物线C1过点A，求抛物线解析式； （2）若抛物线C1与线段OA有交点，求a的取值范围； （3）把抛物线C1沿直线OA方向平移|t|个单位（规定：射线OA方向为正方向）得到抛物线C2，若对于抛物线C2，当﹣2≤x≤3时，y随x的增大而增大，求t的取值范围． 4．解：（1）∵抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣2过点A，点A坐标为（5，1）， ∴1＝25a﹣10a﹣2， 解得a， ∴抛物线解析式为yx2x﹣2， 故答案为：yx2x﹣2； （2）抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣2＝a（x﹣1）2﹣a﹣2， ∴抛物线的对称轴是：直线x＝1，顶点为（1，﹣a﹣2）， ∵点A坐标为（5，1）， ∴线段OA为yx（0≤x≤5）， 抛物线C1与线段OA有交点分两种情况： ①若a＞0，如答图1， 由（1）知y＝ax2﹣2ax﹣2点A（5，1）时，a， 由图可知当抛物线开口变小，则抛物线与线段OA总有交点， 而a＞0时，a越大抛物线开口越小，故a， ②若a＜0，如答图2， 由有解，即ax2﹣（2a）x﹣2＝0有解得： [﹣（2a）]2﹣4a×（﹣2）≥0，解得a或a， ∴a＜0或a， 而a＜0时，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2与直线yx交点不在线段OA， ∴a， 综上所述，抛物线C1与线段OA有交点，a或a， 故答案为：a或a． （3）∵A（5，1）