11 专题十一：参数型函数与对称轴 2022年中考复习二次函数压轴题题型分类突破练习

1．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+b的图象经过点A（1，0），B（x2，0），与y轴正半轴交于C点，且S△ABC＝2，求二次函数的解析式．

1．解：对称轴为直线x2，

∵函数图象与经过点A（1，0），B（x2，0），

∴B（3，0），AB＝3﹣1＝2，

令x＝0，则y＝b，

∴S△ABC2•b＝2，

∴b＝2，

把A（1，0）代入二次函数解析式得，a﹣4a+2＝0，

解得a，

∴二次函数的解析式为：yx2x+2．

2．直线y＝﹣x﹣1与抛物线y＝ax2+4ax+b交于x轴上A点和另一点D，抛物线交y轴于C点，且CD∥x轴，求抛物线解析式．

2．解：如图，∵直线y＝﹣x﹣1交于x轴上A点，

∴A（﹣1，0），

∵抛物线y＝ax2+4ax+b交于x轴上A点，

∴a﹣4a+b＝0，

∴b＝3a，

由抛物线y＝ax2+4ax+b可知C（0，b），

∵CD∥x轴，

∴C、D是对称点，且D的纵坐标为b，

∵抛物线的对称轴是：x＝﹣2，

∴D（﹣4，b），

∵点D在直线y＝﹣x﹣1上，

∴b＝4﹣1＝3，

∴a＝1，

∴抛物线解析式为y＝x2+4x+3．

 

3．（2021秋•黄埔区期末）如图，抛物线y＝mx2﹣4mx﹣5m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．

（1）求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标；

（2）证明△BCM与△ABC的面积相等；

（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．

3．解：（1）∵y＝m（x﹣2）2﹣9m，

∴抛物线顶点M的坐标为（2，﹣9m），

∵抛物线与x轴交于A、B两点，

∴当y＝0时，mx2﹣4mx﹣5m＝0，

∵m＞0，

∴x2﹣4x﹣5＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝5，

∴A，B两点的坐标为（﹣1，0）、（5，0），

（2）当x＝0时，y＝﹣5m，

∴点C的坐标为（0，﹣5m），

∴S△ABC|5﹣（﹣1）|×|﹣5m|＝15m，

过点M作MD⊥x轴于D，

则OD＝2，BD＝OB﹣OD＝3，MD＝|﹣9m|＝9m，

∴S△BCM＝S△BDM+S梯形OCMD﹣S△OBC，

BD•DM（OC+DM）•ODOB•OC，

＝15m，

∴S△ABC＝S△BCM，

（3）存在使△BCM为直角三角形的抛物线．

过点C作CN⊥DM于点N，则△CMN为直角三角形，CN＝OD＝2，DN＝OC＝5m，

∴MN＝DM﹣DN＝4m，

∴CM2＝CN2+MN2＝4+16m2，

在Rt△OBC中，BC2＝OB2+OC2＝25+25m2，

在Rt△BDM中，BM2＝BD2+DM2＝9+81m2．

①如果△BCM是直角三角形，且∠BMC＝90°时，CM2+BM2＝BC2，

即4+16m2+9+81m2＝25+25m2，解得　，

∵m＞0，