10 专题十：参数型函数与定点问题 2022年中考复习二次函数压轴题题型分类突破练习

1．（2020秋•南沙区期末）已知：抛物线y＝kx2﹣（2k+1）x（k≠0）． （1）证明：该抛物线与x轴必有两个不同的交点； （2）若该抛物线经过一个定点D（异于抛物线与y轴的交点），且定点D到抛物线的对称轴的距离为3，求k的值； （3）若k＝1，点E为抛物线的对称轴上一点，且其纵坐标为．已知点F（1，0），此时抛物线上是否存在一点K，使得KF+KE的值最小，若存在，求出K的坐标，若不存在，请说明理由． 1．（1）证明：当y＝0时，kx2﹣（2k+1）x0， △＝[﹣（2k+1）]2﹣4k3k2+（k﹣1）2＞0， ∴该抛物线与x轴必有两个不同的交点； （2）解：y＝kx2﹣（2k+1）x ＝kx2﹣2kx﹣x ＝k（x2﹣2x）﹣x， 令x2﹣2x＝0， 解得：x＝0或2， ∵抛物线经过一个定点D（异于抛物线与y轴的交点）， ∴D的横坐标为2， ∵定点D到抛物线的对称轴的距离为3， ∴抛物线的对称轴是5或﹣1， ∴5或1， 解得：k或； （3）解：当k＝1时，抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x（x）2， ∴抛物线的对称轴是：直线x， ∴E（，）， 如图1，过点K作直线y＝﹣1的垂线KH， 设K（m，n）， ∴n＝m2﹣3m， ∴m2﹣3m＝n， KE2＝（m）2+（n）2＝m2﹣3m+n2+nnn2+n（n+1）2， ∴KE＝n+1， ∴KE＝KH， ∴当F，K，H三点共线时，KF+KE最小，如图2所示， 当x＝1时，y， ∴当FK⊥x轴时，此时KE⊥y轴，KF+KE的值最小为1， 此时K（1，）． 2．（2019春•江岸区校级月考）如图1，抛物线y（x﹣m）2的顶点A在x轴正半轴上，交y轴于B点，S△OAB＝1． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，P是第一象限内抛物线上对称轴右侧一点，过P的直线l与抛物线有且只有一个公共点，l交抛物线对称轴于C点，连PB交对称轴于D点，若∠BAO＝∠PCD，求证：AC＝2AD； （3）如图3，以A为顶点作直角，直角边分别与抛物线交于M、N两点，当直角∠MAN绕A点旋转时，求证：MN始终经过一个定点，并求出该定点的坐标． 2．解：（1）由题意和y（x﹣m）2设A（m，0） 当x＝0时，y（0﹣m）2，即设B（0，） ∴OA＝m，OB 由S△OAB＝1 ∴•OA•OB＝1，即m•2 解得，m＝2 ∴A（2，0），B（0，1） 把y（x﹣2）2化为一般式为，yx2﹣x+1． （2）由（1）得抛物线对称轴为直线x＝2． D、C两点在直线x＝2上，则设C（2，n），D（2，n'） 如图2延长BA交直线PC于点Q并设直线PC交x轴于点E． ∵∠BAO＝∠PCD，∠BOA＝∠EAC＝90° ∴Rt△BOA∽Rt△EAC ∴∠BAO＝∠ECA ∴tan∠BAO＝tan∠ECA ∴ ∴AC＝2AE 又∵∠BAO＝∠EAQ，∠BAO＝∠ECA ∴∠ECA＝∠EAQ 又∵∠ECA+∠CEA＝90° ∴∠EAQ+∠QEA＝90° ∴BQ⊥PC 设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（2，0），B（0，1）代入得， 解得 ∴直线AB的解析式为，yx+1 由BQ⊥PC设直线PC的解析式为y＝2x+b'． 又∵过P的直线l与抛物线有且只有一个公共点 ∴令2x+b'（x﹣2）2 整理得，x2﹣12x+4﹣4b'＝0，且Δ＝0 即144﹣4（4﹣4b'）＝0 解得，b'＝﹣8 ∴直线PC的解析式为，y＝2x﹣8． ∴把点C（2，n）代入y＝2x﹣8中得，n＝2×2﹣8 解得，n＝﹣4． ∴C点坐标为（2，﹣4），即AC＝4 由AC＝2AE得，AE＝2． 把b’＝﹣8代入方程x2﹣12x+4﹣4b'＝0中得， x2﹣12x+36＝0 解得，x1＝x2＝6 再把x＝6代入y＝2x﹣8中得，y＝2×6﹣8 解得，y＝4 ∴P（6，4） 设直线PB解析式为y＝k'x+1 把P（6，4）代入上式得，4＝6k'+1 解得，k' ∴直线PB的解析式为，yx+1 又∵D（2，n'）在直线PB上，将其代入yx+1中得， n'2+1＝2 ∴D点坐标为（2，2），即AD＝2 ∴AD＝AE ∴AC＝2AD； （3）如图3中，以A为原点建立新的坐标系， 则抛物线的解析式为y′x2，在新坐标系中设M（a，a2），N（m，m2）． ∵AM⊥AN， ∴， ∴ma＝﹣16 设直线MN的解析式为y′＝kx+b，则有 解得：， ∵ma＝﹣16， ∴b＝4， ∴直线MN的解析式为y′（a+m）x+4， ∴直线MN经过定点（0，4）（新坐标系中）， 在原来坐标系中，直线MN经过点（2，4）， ∴直线MN经过定点（2，4）． 学科网（北京）股份有限公司 $