10 专题十：参数型函数与定点问题 2022年中考复习二次函数压轴题题型分类突破练习

1．（2020秋•南沙区期末）已知：抛物线y＝kx2﹣（2k+1）x（k≠0）．

（1）证明：该抛物线与x轴必有两个不同的交点；

（2）若该抛物线经过一个定点D（异于抛物线与y轴的交点），且定点D到抛物线的对称轴的距离为3，求k的值；

（3）若k＝1，点E为抛物线的对称轴上一点，且其纵坐标为．已知点F（1，0），此时抛物线上是否存在一点K，使得KF+KE的值最小，若存在，求出K的坐标，若不存在，请说明理由．

1．（1）证明：当y＝0时，kx2﹣（2k+1）x0，

△＝[﹣（2k+1）]2﹣4k3k2+（k﹣1）2＞0，

∴该抛物线与x轴必有两个不同的交点；

（2）解：y＝kx2﹣（2k+1）x

＝kx2﹣2kx﹣x

＝k（x2﹣2x）﹣x，

令x2﹣2x＝0，

解得：x＝0或2，

∵抛物线经过一个定点D（异于抛物线与y轴的交点），

∴D的横坐标为2，

∵定点D到抛物线的对称轴的距离为3，

∴抛物线的对称轴是5或﹣1，

∴5或1，

解得：k或；

（3）解：当k＝1时，抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x（x）2，

∴抛物线的对称轴是：直线x，

∴E（，），

如图1，过点K作直线y＝﹣1的垂线KH，

设K（m，n），

∴n＝m2﹣3m，

∴m2﹣3m＝n，

KE2＝（m）2+（n）2＝m2﹣3m+n2+nnn2+n（n+1）2，

∴KE＝n+1，

∴KE＝KH，

∴当F，K，H三点共线时，KF+KE最小，如图2所示，

当x＝1时，y，

∴当FK⊥x轴时，此时KE⊥y轴，KF+KE的值最小为1，

此时K（1，）．

 

 

 

 

2．（2019春•江岸区校级月考）如图1，抛物线y（x﹣m）2的顶点A在x轴正半轴上，交y轴于B点，S△OAB＝1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，P是第一象限内抛物线上对称轴右侧一点，过P的直线l与抛物线有且只有一个公共点，l交抛物线对称轴于C点，连PB交对称轴于D点，若∠BAO＝∠PCD，求证：AC＝2AD；

（3）如图3，以A为顶点作直角，直角边分别与抛物线交于M、N两点，当直角∠MAN绕A点旋转时，求证：MN始终经过一个定点，并求出该定点的坐标．

2．解：（1）由题意和y（x﹣m）2设A（m，0）

当x＝0时，y（0﹣m）2，即设B（0，）

∴OA＝m，OB

由S△OAB＝1

∴•OA•OB＝1，即m•2

解得，m＝2

∴A（2，0），B（0，1）

把y（x﹣2）2化为一般式为，yx2﹣x+1．

（2）由（1）得抛物线对称轴为直线x＝2．

D、C两点在直线x＝2上，则设C（2，n），D（2，n'）

如图2延长BA交直线PC于点Q并设直线PC交x轴于点E．