09 专题九：二次函数与平行四边形存在性问题 2022年中考复习二次函数压轴题题型分类突破练习

1．（2020•广安）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）． （1）求抛物线的解析式． （2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标． （3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 1．解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c， 得到 解得， ∴y＝x2﹣2x﹣3． （2）将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3，得y＝﹣3，∴C（2，﹣3）； ∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1． 设P点的横坐标为m（﹣1≤m≤2），则P、E的坐标分别为：P（m，﹣m﹣1），E（m，m2﹣2m﹣3）； ∵P点在E点的上方，PE＝（﹣m﹣1）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+m+2， ＝﹣（m）2， ∵﹣1＜0， ∴当m时，PE的最大值，此时P（，）． （3）存在． 理由：如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K（0，﹣3）， ∵C（2，﹣3）， ∴CK∥x轴，CK＝2， 当AC是平行四边形ACF1D1的边时，可得D1（﹣3，0）． 当AC是平行四边形AF1CD2的对角线时，AD2＝CK，可得D2（1，0）， 当点F在x轴的上方时，令y＝3，3＝x2﹣2x﹣3， 解得x＝1±， ∴F3（1，3），F4（1，3）， 由平移的性质可知D3（4，0），D4（4，0）． 综上所述，满足条件的点D的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（4，0）或（4，0）． 2．（2021秋•鄂州期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点（﹣2，5），且与直线yx在第二象限交于点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B（﹣4，0）．若P是直线OA上方该抛物线上的一个动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交OA于点D，连接OP，PA． （1）求抛物线的解析式； （2）求△AOP的面积S的最大值； （3）连接PB交OA于点E，如图2，线段PB与AD能否互相平分？若能，请求出点E的坐标；若不能，请说明理由． 2．解：（1）∵B（﹣4，0）， ∴xA＝﹣4， 在yx中，令x＝﹣4得y＝2， ∴A（﹣4，2）， 将A（﹣4，2）和（﹣2，5）代入y＝ax2+bx得： ，解得， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2x； （2）设P（x，﹣x2x），则D（x，x）， ∴PD＝﹣x2x﹣（x）＝﹣x2﹣4x， ∴SPD•|xA|（﹣x2﹣4x）×4＝﹣2（x+2）2+8， ∵﹣2＜0， ∴x＝﹣2时，S取得最大值8； ∴△AOP的面积S的最大值是8； （3）线段PB与AD能互相平分， ∵线段PB与AD互相平分， ∴PB的中点即是AD的中点， 设P（t，﹣t2t），则D（t，t），而A（﹣4，2），B（﹣4，0）， ∴PB的中点是（，t2t），AD的中点是（，t+1）， ∴t2tt+1， 解得t＝﹣2或t＝﹣2， 当t＝﹣2时，PB的中点E的横坐标为， ∴点E的坐标为 当时，点E的横坐标为 ∴点E的坐标为 ∴点E的坐标为或． 3．（2021秋•郧阳区期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于C（0，3）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值； （3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的面积；如果不存在，请说明理由． 3．解：（1）由题意可设抛物线的函数表达式为y＝a（x+1）（x+3）， 将C（0，3）代入得：3＝a（0+1）（0+3）， 解得a＝1． ∴抛物线的函数表达式为y＝（x+1）（x+3），即y＝x2+4x+3． （2）如图1，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA． ∵A（﹣1，0），B（﹣3，0），C（0，3）． ∴BC3，AC． ∵点A、B关于对称轴x＝﹣2对称， ∴PA＝PB． ∴PA+PC＝PB+PC．此时，PB+PC＝BC． ∴点P在对称轴上运动时，PA+PB的最小值等于BC． ∴△APC的周长的最小值＝AC+AP+PC＝AC+BC＝3； （3）存在点M，N使四边形MNED为正方形， 如图2所示，过M作MF∥y轴，交x轴于点F，过N作NH∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形， 设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN解析式为y＝x+b， 联立得：， 消去y得：x2+3x+3﹣b＝0， ∴NF2＝|x1﹣x2|2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝4b﹣3， ∵△MN