09 专题九：二次函数与平行四边形存在性问题 2022年中考复习二次函数压轴题题型分类突破练习

1．（2020•广安）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．

（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．

1．解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，

得到

解得，

∴y＝x2﹣2x﹣3．

（2）将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3，得y＝﹣3，∴C（2，﹣3）；

∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1．

设P点的横坐标为m（﹣1≤m≤2），则P、E的坐标分别为：P（m，﹣m﹣1），E（m，m2﹣2m﹣3）；

∵P点在E点的上方，PE＝（﹣m﹣1）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+m+2，

＝﹣（m）2，

∵﹣1＜0，

∴当m时，PE的最大值，此时P（，）．

（3）存在．

理由：如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K（0，﹣3），

∵C（2，﹣3），

∴CK∥x轴，CK＝2，

当AC是平行四边形ACF1D1的边时，可得D1（﹣3，0）．

当AC是平行四边形AF1CD2的对角线时，AD2＝CK，可得D2（1，0），

当点F在x轴的上方时，令y＝3，3＝x2﹣2x﹣3，

解得x＝1±，

∴F3（1，3），F4（1，3），

由平移的性质可知D3（4，0），D4（4，0）．

综上所述，满足条件的点D的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（4，0）或（4，0）．

2．（2021秋•鄂州期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点（﹣2，5），且与直线yx在第二象限交于点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B（﹣4，0）．若P是直线OA上方该抛物线上的一个动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交OA于点D，连接OP，PA．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求△AOP的面积S的最大值；

（3）连接PB交OA于点E，如图2，线段PB与AD能否互相平分？若能，请求出点E的坐标；若不能，请说明理由．

2．解：（1）∵B（﹣4，0），

∴xA＝﹣4，

在yx中，令x＝﹣4得y＝2，

∴A（﹣4，2），

将A（﹣4，2）和（﹣2，5）代入y＝ax2+bx得：

，解得，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2x；

（2）设P（x，﹣x2x），则D（x，x），

∴PD＝﹣x2x﹣（x）＝﹣x2﹣4x，

∴SPD•|xA|（﹣x2﹣4x）×4＝﹣2（x+2）2+8，

∵﹣2＜0，

∴x＝﹣2时，S取得最大值8；

∴△AOP的面积S的最大值是8；

（3）线段PB与AD能互相平分，

∵线段PB与AD互相平分，

∴PB的中点即是AD的中点，