08 专题八：二次函数与直角三角形存在性问题 2022年中考复习二次函数压轴题题型分类突破练习

1．（2015•绵阳模拟）如图，开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0）、B（5，0）两点，交y轴于点C（0，5）

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为D，求△BCD的面积；

（3）在（2）的条件下，P、Q为线段BC上两点（P左Q右，且P、Q不与B、C重合），PQ＝2，在第一象限的抛物线上是否存在这样的点R，使△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．

1．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点A（﹣1，0），B（5，0），C（0，5）

∴，

解得．

∴此抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5；

（2）由y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9可知顶点D的坐标为（2，9），

作DE⊥AB于E，交对称轴于F，如图，

∴E（2，0），

∵B（5，0），C（0，5）

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5，

把x＝2代入得，y＝3，

∴F（2，3），

∴DF＝9﹣3＝6，

S△BCD＝S△CDF+S△BDF6×26×（5﹣2）6×5＝15；

（3）分三种情况：

①以点P为直角顶点，

∵PQ＝2，

∴RQPQ＝4

∵C（0，5），B（5，0），

∴OC＝OB＝5，

∴∠OCB＝∠OBC＝45°，

∵∠RQP＝45°

∴RQ∥OC

可求得直线BC的解析式为y＝﹣x+5，

设R（m，﹣m2+4m+5），则Q（m，﹣m+5）

则RQ＝（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+5）＝4

解得m1＝4，m2＝1，

∵点Q在点P右侧，

∴m＝4，

∴R（4，5）；

②以点R为直角顶点，

∵PQ＝2，

∴RQPQ＝2

设R（m，﹣m2+4m+5）则Q（m，﹣m+5），则RQ＝（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+5）＝2，

解得m1，m2，

∵点Q在点P右侧，

∴m，

∴R（，）；

③以点Q为直角顶点，

∵PQ＝2∴PRPQ＝4

∵C（0，5），B（5，0）

∴OC＝OB＝5

∴∠OCB＝∠OBC＝45°

∵∠RPQ＝45°，

∴PR∥OB

设R（m，﹣m2+4m+5），则P（m﹣4，﹣m2+4m+5），

把P（m﹣4，﹣m2+4m+5）代入y＝﹣x+5，得﹣（m﹣4）+5＝﹣m2+4m+5

解得m1＝4，m2＝1，

此时点P（0，5）

因为点P在线段BC上运动，且不与B、C重合，所以不存在以Q为直角顶点的情况．

综上所述：当 R（4，5）或（，）时，△PQR为等腰直角三角形．