08 专题八：二次函数与直角三角形存在性问题 2022年中考复习二次函数压轴题题型分类突破练习

1．（2015•绵阳模拟）如图，开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0）、B（5，0）两点，交y轴于点C（0，5） （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为D，求△BCD的面积； （3）在（2）的条件下，P、Q为线段BC上两点（P左Q右，且P、Q不与B、C重合），PQ＝2，在第一象限的抛物线上是否存在这样的点R，使△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 1．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点A（﹣1，0），B（5，0），C（0，5） ∴， 解得． ∴此抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5； （2）由y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9可知顶点D的坐标为（2，9）， 作DE⊥AB于E，交对称轴于F，如图， ∴E（2，0）， ∵B（5，0），C（0，5） ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5， 把x＝2代入得，y＝3， ∴F（2，3）， ∴DF＝9﹣3＝6， S△BCD＝S△CDF+S△BDF6×26×（5﹣2）6×5＝15； （3）分三种情况： ①以点P为直角顶点， ∵PQ＝2， ∴RQPQ＝4 ∵C（0，5），B（5，0）， ∴OC＝OB＝5， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°， ∵∠RQP＝45° ∴RQ∥OC 可求得直线BC的解析式为y＝﹣x+5， 设R（m，﹣m2+4m+5），则Q（m，﹣m+5） 则RQ＝（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+5）＝4 解得m1＝4，m2＝1， ∵点Q在点P右侧， ∴m＝4， ∴R（4，5）； ②以点R为直角顶点， ∵PQ＝2， ∴RQPQ＝2 设R（m，﹣m2+4m+5）则Q（m，﹣m+5），则RQ＝（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+5）＝2， 解得m1，m2， ∵点Q在点P右侧， ∴m， ∴R（，）； ③以点Q为直角顶点， ∵PQ＝2∴PRPQ＝4 ∵C（0，5），B（5，0） ∴OC＝OB＝5 ∴∠OCB＝∠OBC＝45° ∵∠RPQ＝45°， ∴PR∥OB 设R（m，﹣m2+4m+5），则P（m﹣4，﹣m2+4m+5）， 把P（m﹣4，﹣m2+4m+5）代入y＝﹣x+5，得﹣（m﹣4）+5＝﹣m2+4m+5 解得m1＝4，m2＝1， 此时点P（0，5） 因为点P在线段BC上运动，且不与B、C重合，所以不存在以Q为直角顶点的情况． 综上所述：当 R（4，5）或（，）时，△PQR为等腰直角三角形． 2．（2021秋•曾都区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣3，0），B（4，0），与y轴交于点C． （1）直接写出抛物线的解析式； （3）若点M为x轴上一动点，将线段MC绕点M逆时针旋转90°得到线段MD，试探究是否存在点M，使点D恰好落在该抛物线上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 2．解：（1）将点A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2， ∴， ∴， ∴yx2x﹣2； （2）根据中心对称的性质可知，O'A'∥x轴，O'A'＝OA＝3，点A'在点O'的右边， 设点O的横坐标为m，则点A'的横坐标为m+3，它们的纵坐标相等， ∵O'，A'在该抛物线上， ∴m2m﹣2（m+3）2（m+3）﹣2， 解方程得m＝﹣1， ∴点O'（﹣1，）， 如图1，过点P作PQ⊥x轴于点Q，过点O'作O'G⊥x轴于点G，则PQ为△OO'G的中位线， ∴OQ，PQ， ∴P（，）； （3）存在点M，使点D恰好落在该抛物线上，理由如下： 如图2，当点D在x轴下方时，过点D作DF⊥AM于点F， ∴∠FMD+∠MDF＝90°， ∵∠OMC+∠FMD＝90°， ∴∠OMC＝∠MDF， ∵∠COM＝∠MFD＝90°，CM＝MD， ∴Rt△COM≌Rt△MFD（AAS）， ∴MF＝OC＝2，OM＝DF， 设OM＝DF＝a（a＞0）， ∴OF＝OM+MF＝a+2， ∴D（a+2，﹣a）， ∵点D在抛物线上， ∴（a+2）2（a+2）﹣2＝﹣a， 解得a＝1或a＝﹣10（舍去）． ∴D（3，﹣1）； 如图3，当点D在x轴上方时，设OF＝a（a＞0）， 过点D作DF⊥AM于点F， 同理可证Rt△COM≌Rt△MFD（AAS）， ∴CO＝MF＝2，DF＝OM＝a+2， ∴D（﹣a，a+2）， ∵点D在抛物线上， ∴（﹣a）2（﹣a）2＝a+2， 解得a＝8或a＝﹣3（舍去）， ∴D（﹣8，10）； 综上所述：D点坐标为（3，﹣1）或（﹣8，10）． 3．（2021秋•黄埔区期末）如图，抛物线y＝mx2﹣4mx﹣5m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． （1）求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标； （2）证明△BCM与△ABC的面积相等； （3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若