06 专题六：二次函数与特定角存在性问题 2022年中考复习二次函数压轴题题型分类突破练习

1．（2021•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）．

（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；

（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当△PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；

（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．

1．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，

∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），

∵D（4，3）在抛物线上，

∴3＝a（4+2）×（4﹣6），

解得a，

∴抛物线的解析式为y（x+2）（x﹣6）x2+x+3，

∵直线l经过A（﹣2，0）、D（4，3），

设直线l的解析式为y＝kx+m（k≠0），

则，

解得，，

∴直线l的解析式为yx+1；

（2）如图1中，过点P作PK∥y轴交AD于点K．设P（m，m2+m+3），则K（m，m+1）．

∵S△PAD•（xD﹣xA）•PK＝3PK，

∴PK的值最大值时，△PAD的面积最大，

∵PKm2+m+3m﹣1m2m+2（m﹣1）2，

∵0，

∴m＝1时，PK的值最大，最大值为，此时△PAD的面积的最大值为，P（1，）．

（3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（﹣5，6），

设DT交y轴于点Q，则∠ADQ＝45°，

∵D（4，3），

∴直线DT的解析式为yx，

∴Q（0，），

作点T关于AD的对称点T′（1，﹣6），

则直线DT′的解析式为y＝3x﹣9，

设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′＝45°，

∴Q′（0，﹣9），

综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，）或（0，﹣9）．

2．（2021秋•郧西县期末）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，求出点P的坐标；

（3）Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．

2．（1）把A（1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，

得，

解得，

∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+4x﹣3．

（2）抛物线y＝﹣x2+4x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，

∴C（0，﹣3），

设直线BC的函数解析式为y＝kx﹣3，则3k﹣3＝0，

解得k＝1，

∴直线BC的函数解析式为y＝x﹣3，

如图1，过点A作AP1∥BC，交y轴于点G，交抛物线于另一点P1，作△P1BC，则△P1BC与△ABC面积相等，

设直线AP1的解析式为y＝x﹣m，则1﹣m＝0，

解得m＝1，

∴直线AG的函数解析式为y＝x﹣1，

由，