06 专题六：二次函数与特定角存在性问题 2022年中考复习二次函数压轴题题型分类突破练习

1．（2021•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）． （1）求抛物线的解析式与直线l的解析式； （2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当△PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值； （3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标． 1．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣6）， ∵D（4，3）在抛物线上， ∴3＝a（4+2）×（4﹣6）， 解得a， ∴抛物线的解析式为y（x+2）（x﹣6）x2+x+3， ∵直线l经过A（﹣2，0）、D（4，3）， 设直线l的解析式为y＝kx+m（k≠0）， 则， 解得，， ∴直线l的解析式为yx+1； （2）如图1中，过点P作PK∥y轴交AD于点K．设P（m，m2+m+3），则K（m，m+1）． ∵S△PAD•（xD﹣xA）•PK＝3PK， ∴PK的值最大值时，△PAD的面积最大， ∵PKm2+m+3m﹣1m2m+2（m﹣1）2， ∵0， ∴m＝1时，PK的值最大，最大值为，此时△PAD的面积的最大值为，P（1，）． （3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（﹣5，6）， 设DT交y轴于点Q，则∠ADQ＝45°， ∵D（4，3）， ∴直线DT的解析式为yx， ∴Q（0，）， 作点T关于AD的对称点T′（1，﹣6）， 则直线DT′的解析式为y＝3x﹣9， 设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′＝45°， ∴Q′（0，﹣9）， 综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，）或（0，﹣9）． 2．（2021秋•郧西县期末）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC． （1）求抛物线的函数解析式； （2）P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，求出点P的坐标； （3）Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标． 2．（1）把A（1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3， 得， 解得， ∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+4x﹣3． （2）抛物线y＝﹣x2+4x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， 设直线BC的函数解析式为y＝kx﹣3，则3k﹣3＝0， 解得k＝1， ∴直线BC的函数解析式为y＝x﹣3， 如图1，过点A作AP1∥BC，交y轴于点G，交抛物线于另一点P1，作△P1BC，则△P1BC与△ABC面积相等， 设直线AP1的解析式为y＝x﹣m，则1﹣m＝0， 解得m＝1， ∴直线AG的函数解析式为y＝x﹣1， 由， 得，（不符合题意，舍去）， ∴P1（2，1）； 将直线BC向下平移2个单位，得到的直线交y轴于点H，交抛物线于点P2、P3，作△P2BC和△P3BC， ∵CH＝CG＝2， ∴H（0，﹣5）， ∴直线P2P3的函数解析式为y＝x﹣5， 易得直线P2P3与直线BC间的距离等于直线P1G与直线BC间的距离， ∴△P2BC和△P3BC都与△ABC面积相等， 由， 得，， ∴P2（，），P3（，）， 综上所述，点P的坐标为（2，1）或（，）或（，）． （3）如图2，点Q在抛物线上，且∠ACQ＝45°， 过点A作AD⊥CQ于点D，过点D作DF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥DF于点E， ∵∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝∠DCA＝45°， ∴CD＝AD， ∵∠E＝∠AFD＝90°， ∴∠ADF＝90°﹣∠CDE＝∠DCE， ∴△CDE≌△DAF（AAS）， ∴DE＝AF，CE＝DF， ∵∠E＝∠OFE＝∠COF＝90°， ∴四边形OCEF是矩形， ∴OF＝CE，EF＝OC＝3， 设DE＝AF＝n， ∵OA＝1， ∴CE＝DF＝OF＝n+1， ∵DF＝3﹣n， ∴n+1＝3﹣n， 解得n＝1， ∴DE＝AF＝1， ∴CE＝DF＝OF＝2， ∴D（2，﹣2）， 设直线CQ的函数解析式为y＝px﹣3，则2p﹣3＝﹣2， 解得p， ∴直线CD的函数解析式为yx﹣3， 由， 得，（不符合题意，舍去）， ∴点Q的坐标为（，）． 3．（2021秋•越秀区校级期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3a）． （1）求点B的坐标； （2）若a，点M和点N在抛物线上，且M的横坐标为4，点N在第二象限，若∠AMN＝2∠OAM，求点N的坐标； （3）P是第四象限内抛物线上的一个动点，直线PA、PB分别交y轴于点M、N，判断CM与CN的数量关系，并说明理由． 3．解：（1）∵A（﹣1，0）、C（0，﹣3a）在抛物线