05 专题五：二次函数与面积关系式、面积最值问题（铅锤法） 2022年中考复习二次函数压轴题题型分类突破练习

1．（2021秋•南沙区期末）已知关于x的一元二次方程x2+ax+a+3＝0．

（1）求证：无论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；

（2）如图，若抛物线yx2+ax+a+3与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，连结BC，BC与对称轴交于点D．

①求抛物线的解析式及点B的坐标；

②若点P是抛物线上的一点，且点P位于直线BC的上方，连接PC，PD，过点P作PN⊥x轴，交BC于点M，求△PCD的面积的最大值及此时点P的坐标．

 

1．（1）证明：∵关于x的一元二次方程x2+ax+a+3＝0，

∴Δ＝a2﹣4×（）×（a+3）＝a2+2a+6＝（a+1）2+5，

∵（a+1）2≥0，

∴Δ＝（a+1）2+5≥5，

∴Δ＞0，

∴无论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：①∵抛物线yx2+ax+a+3与x轴交于点A（﹣2，0），

∴（﹣2）2﹣2a+a+3＝0，

解得：a＝1，

∴yx2+x+4，

令y＝0，则x2+x+4＝0，

解得：x1＝﹣2，x2＝4，

∴抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）和（4，0），

∵A（﹣2，0），

∴B（4，0），

∴抛物线的解析式为yx2+x+4，B点坐标为（4，0）；

②由（2）知，抛物线解析式为yx2+x+4，

∴对称轴为x1，

令x＝0，则y＝4，

∴C（0，4），

设直线BC的解析式为y＝kx+b，

∵B（4，0），C（0，4），

则，

解得：，

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，

∴D（1，3），

设抛物线的对称轴于x轴交于点E，如图，

∴OE＝1，DE＝3．

∵C（0，4），

∴OC＝4

设点P（x，x2+x+4）（0＜x＜4），

∴ON＝x，PNx2+x+4，

∴EN＝ON﹣OE＝x﹣1，

∴S△PCD＝S四边形OCPN﹣S四边形OCDE﹣S四边形DENP

（OC+PN）×ON（OC+DE）×OE（DE+PN）×EN

（4x2+x+4）•x（4+3）×1（3x2+x+4）（x﹣1）

x2+x

1，

∵0，

∴当x＝2时，S△PCD有最大值1．

此时点P的坐标为（2，4）．

2．（2021•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）．

（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；

（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当△PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；

（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．

2．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，

∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），

∵D（4，3）在抛物线上，

∴3＝a（4+2）×（4﹣6），

解得a，

∴抛物线的解析式为y（x+2）（x﹣6）x2+x+3，

∵直线l经过A（﹣2，0）、D（4，3），