05 专题五：二次函数与面积关系式、面积最值问题（铅锤法） 2022年中考复习二次函数压轴题题型分类突破练习

1．（2021秋•南沙区期末）已知关于x的一元二次方程x2+ax+a+3＝0． （1）求证：无论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； （2）如图，若抛物线yx2+ax+a+3与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，连结BC，BC与对称轴交于点D． ①求抛物线的解析式及点B的坐标； ②若点P是抛物线上的一点，且点P位于直线BC的上方，连接PC，PD，过点P作PN⊥x轴，交BC于点M，求△PCD的面积的最大值及此时点P的坐标． 1．（1）证明：∵关于x的一元二次方程x2+ax+a+3＝0， ∴Δ＝a2﹣4×（）×（a+3）＝a2+2a+6＝（a+1）2+5， ∵（a+1）2≥0， ∴Δ＝（a+1）2+5≥5， ∴Δ＞0， ∴无论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：①∵抛物线yx2+ax+a+3与x轴交于点A（﹣2，0）， ∴（﹣2）2﹣2a+a+3＝0， 解得：a＝1， ∴yx2+x+4， 令y＝0，则x2+x+4＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝4， ∴抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）和（4，0）， ∵A（﹣2，0）， ∴B（4，0）， ∴抛物线的解析式为yx2+x+4，B点坐标为（4，0）； ②由（2）知，抛物线解析式为yx2+x+4， ∴对称轴为x1， 令x＝0，则y＝4， ∴C（0，4）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∵B（4，0），C（0，4）， 则， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4， ∴D（1，3）， 设抛物线的对称轴于x轴交于点E，如图， ∴OE＝1，DE＝3． ∵C（0，4）， ∴OC＝4 设点P（x，x2+x+4）（0＜x＜4）， ∴ON＝x，PNx2+x+4， ∴EN＝ON﹣OE＝x﹣1， ∴S△PCD＝S四边形OCPN﹣S四边形OCDE﹣S四边形DENP （OC+PN）×ON（OC+DE）×OE（DE+PN）×EN （4x2+x+4）•x（4+3）×1（3x2+x+4）（x﹣1） x2+x 1， ∵0， ∴当x＝2时，S△PCD有最大值1． 此时点P的坐标为（2，4）． 2．（2021•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）． （1）求抛物线的解析式与直线l的解析式； （2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当△PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值； （3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标． 2．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣6）， ∵D（4，3）在抛物线上， ∴3＝a（4+2）×（4﹣6）， 解得a， ∴抛物线的解析式为y（x+2）（x﹣6）x2+x+3， ∵直线l经过A（﹣2，0）、D（4，3）， 设直线l的解析式为y＝kx+m（k≠0）， 则， 解得，， ∴直线l的解析式为yx+1； （2）如图1中，过点P作PK∥y轴交AD于点K．设P（m，m2+m+3），则K（m，m+1）． ∵S△PAD•（xD﹣xA）•PK＝3PK， ∴PK的值最大值时，△PAD的面积最大， ∵PKm2+m+3m﹣1m2m+2（m﹣1）2， ∵0， ∴m＝1时，PK的值最大，最大值为，此时△PAD的面积的最大值为，P（1，）． （3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（﹣5，6）， 设DT交y轴于点Q，则∠ADQ＝45°， ∵D（4，3）， ∴直线DT的解析式为yx， ∴Q（0，）， 作点T关于AD的对称点T′（1，﹣6）， 则直线DT′的解析式为y＝3x﹣9， 设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′＝45°， ∴Q′（0，﹣9）， 综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，）或（0，﹣9）． 3．（2021•遵义一模）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3），且抛物线的顶点D的坐标为（1，4），连接BC，抛物线的对称轴与BC交于点H． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上B，D两点之间的部分（不包含B，D两点），是否存在点G，使得S△BGH＝3S△DGH，若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图②，将抛物线在BC上方的图象沿BC折叠后与y轴交于点E，求点E的坐标． 3．解：（1）∵抛物线的顶点D的坐标为（1，4）， ∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+4， ∵抛物线过点C（0，3）， ∴a（0﹣1）2+4＝3，解得a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；