04 专题四：二次函数与面积（定面积与坐标） 2022年中考复习二次函数压轴题题型分类突破练习

1．（2015•绵阳模拟）如图，开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0）、B（5，0）两点，交y轴于点C（0，5） （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为D，求△BCD的面积； （3）在（2）的条件下，P、Q为线段BC上两点（P左Q右，且P、Q不与B、C重合），PQ＝2，在第一象限的抛物线上是否存在这样的点R，使△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 1．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点A（﹣1，0），B（5，0），C（0，5） ∴， 解得． ∴此抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5； （2）由y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9可知顶点D的坐标为（2，9）， 作DE⊥AB于E，交对称轴于F，如图， ∴E（2，0）， ∵B（5，0），C（0，5） ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5， 把x＝2代入得，y＝3， ∴F（2，3）， ∴DF＝9﹣3＝6， S△BCD＝S△CDF+S△BDF6×26×（5﹣2）6×5＝15； （3）分三种情况： ①以点P为直角顶点， ∵PQ＝2， ∴RQPQ＝4 ∵C（0，5），B（5，0）， ∴OC＝OB＝5， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°， ∵∠RQP＝45° ∴RQ∥OC 可求得直线BC的解析式为y＝﹣x+5， 设R（m，﹣m2+4m+5），则Q（m，﹣m+5） 则RQ＝（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+5）＝4 解得m1＝4，m2＝1， ∵点Q在点P右侧， ∴m＝4， ∴R（4，5）； ②以点R为直角顶点， ∵PQ＝2， ∴RQPQ＝2 设R（m，﹣m2+4m+5）则Q（m，﹣m+5），则RQ＝（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+5）＝2， 解得m1，m2， ∵点Q在点P右侧， ∴m， ∴R（，）； ③以点Q为直角顶点， ∵PQ＝2∴PRPQ＝4 ∵C（0，5），B（5，0） ∴OC＝OB＝5 ∴∠OCB＝∠OBC＝45° ∵∠RPQ＝45°， ∴PR∥OB 设R（m，﹣m2+4m+5），则P（m﹣4，﹣m2+4m+5）， 把P（m﹣4，﹣m2+4m+5）代入y＝﹣x+5，得﹣（m﹣4）+5＝﹣m2+4m+5 解得m1＝4，m2＝1， 此时点P（0，5） 因为点P在线段BC上运动，且不与B、C重合，所以不存在以Q为直角顶点的情况． 综上所述：当 R（4，5）或（，）时，△PQR为等腰直角三角形． 2．（2021秋•郧西县期末）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC． （1）求抛物线的函数解析式； （2）P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，求出点P的坐标； （3）Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标． 2．（1）把A（1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3， 得， 解得， ∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+4x﹣3． （2）抛物线y＝﹣x2+4x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， 设直线BC的函数解析式为y＝kx﹣3，则3k﹣3＝0， 解得k＝1， ∴直线BC的函数解析式为y＝x﹣3， 如图1，过点A作AP1∥BC，交y轴于点G，交抛物线于另一点P1，作△P1BC，则△P1BC与△ABC面积相等， 设直线AP1的解析式为y＝x﹣m，则1﹣m＝0， 解得m＝1， ∴直线AG的函数解析式为y＝x﹣1， 由， 得，（不符合题意，舍去）， ∴P1（2，1）； 将直线BC向下平移2个单位，得到的直线交y轴于点H，交抛物线于点P2、P3，作△P2BC和△P3BC， ∵CH＝CG＝2， ∴H（0，﹣5）， ∴直线P2P3的函数解析式为y＝x﹣5， 易得直线P2P3与直线BC间的距离等于直线P1G与直线BC间的距离， ∴△P2BC和△P3BC都与△ABC面积相等， 由， 得，， ∴P2（，），P3（，）， 综上所述，点P的坐标为（2，1）或（，）或（，）． （3）如图2，点Q在抛物线上，且∠ACQ＝45°， 过点A作AD⊥CQ于点D，过点D作DF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥DF于点E， ∵∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝∠DCA＝45°， ∴CD＝AD， ∵∠E＝∠AFD＝90°， ∴∠ADF＝90°﹣∠CDE＝∠DCE， ∴△CDE≌△DAF（AAS）， ∴DE＝AF，CE＝DF， ∵∠E＝∠OFE＝∠COF＝90°， ∴四边形OCEF是矩形， ∴OF＝CE，EF＝OC＝3， 设DE＝AF＝n， ∵OA＝1， ∴CE＝DF＝OF＝n+1， ∵DF＝3﹣n， ∴n+1＝3﹣n， 解得n＝1， ∴DE＝AF＝1， ∴CE＝DF＝OF＝2， ∴D（2，﹣2）， 设直线CQ的函数解析式为y＝px﹣3，则2p﹣3＝﹣2， 解得p， ∴直线C