02 专题二：二次函数与线段和最小问题（一） 2022年中考复习二次函数压轴题题型分类突破练习

1．（2021秋•郧阳区期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于C（0，3）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值； （3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的面积；如果不存在，请说明理由． 1．解：（1）由题意可设抛物线的函数表达式为y＝a（x+1）（x+3）， 将C（0，3）代入得：3＝a（0+1）（0+3）， 解得a＝1． ∴抛物线的函数表达式为y＝（x+1）（x+3），即y＝x2+4x+3． （2）如图1，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA． ∵A（﹣1，0），B（﹣3，0），C（0，3）． ∴BC3，AC． ∵点A、B关于对称轴x＝﹣2对称， ∴PA＝PB． ∴PA+PC＝PB+PC．此时，PB+PC＝BC． ∴点P在对称轴上运动时，PA+PB的最小值等于BC． ∴△APC的周长的最小值＝AC+AP+PC＝AC+BC＝3； （3）存在点M，N使四边形MNED为正方形， 如图2所示，过M作MF∥y轴，交x轴于点F，过N作NH∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形， 设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN解析式为y＝x+b， 联立得：， 消去y得：x2+3x+3﹣b＝0， ∴NF2＝|x1﹣x2|2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝4b﹣3， ∵△MNF为等腰直角三角形， ∴MN2＝2NF2＝8b﹣6， ∵NH2＝（b﹣3）2， ∴NE2（b﹣3）2， 若四边形MNED为正方形，则有NE2＝MN2， ∴8b﹣6（b﹣3）2， 整理得：b2﹣22b+21＝0， 解得：b＝21或b＝1， ∵正方形面积为MN2＝8b﹣6， ∴正方形面积为162或2． 2．（2021秋•湖北期末）如图，已知抛物线C1：y＝﹣x2+4x+1与y轴相交于点C，顶点为D． （1）求直线CD的解析式； （2）点P为直线CD左上方抛物线上的一动点过点P作y轴的平行线交直线CD于点Q，当线段PQ取得最大值时，在抛物线的对称轴上找一点G，使△PCG的周长最小，求点G的坐标； （3）将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2，C2与C1相交于点E，点F为抛物线C1对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形，若存在，请直写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 2．解：（1）∵y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5， ∴D（2，5）．令x＝0，则y＝1， ∴C（0，1）． 设直线CD的解析式为y＝kx+n， ∴ 解得：． ∴直线CD的解析式为y＝2x+1． （2）设P（m，﹣m2+4m+1），则Q（m，2m+1）， ∵点P为直线CD左上方抛物线上的一动点， ∴PQ＝（﹣m2+4m+1）﹣（2m+1）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣1）2+1． ∵﹣1＜0， ∴当m＝1时，PQ取得最大值，此时P（1，4）． 设点C关于抛物线的对称轴对称的点为C′，则C′（4，1）， 连接C′P交抛物线对称轴于点G，则G点为所求的点． 设直线C′P的解析式为y＝ax+b， ∴， 解得：． ∴直线C′P的解析式为y＝﹣x+5． 当x＝2时，y＝﹣2+5＝3， ∴G（2，3）． （3）在平面直角坐标系中存在点H，使以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形，理由： 将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2， 则C2的解析式为y＝﹣（x﹣2+2）2+5＝﹣x2+5． ∴， 解得：． ∴E（1，4）． 则以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形，此时CE为菱形的对角线，如图， 则EC，FH互相垂直平分，设EC，FH相交于点A，则A（，）． 设直线CE的解析式为y＝cx+d， ∴， 解得：． ∴直线CE的解析式为y＝3x+1． ∴设直线FH的解析式为yx+e， ∴． ∴e． ∴直线FH的解析式为yx． 当x＝2时，y22． ∴F（2，2）． 过点C作CM⊥FD于点M，过点H作FN⊥CM交MC的延长线于点N，过点E作EG⊥DF于点G， 则CM＝2，FM＝1，EG＝1，GM＝3． ∴GF＝3﹣2＝2． ∴CM＝GF． ∵四边形EFCH为菱形， ∴CF＝EF＝HC． 在Rt△CFM和Rt△FEG中， ， ∴Rt△CFM≌Rt△FEG（HL）． ∴∠EFG＝∠FCM． ∵∠FCM+∠CFM＝90°， ∴∠CFM+∠EFG＝90°， ∴∠EFC＝90°． ∴菱形EFCH为正方形． ∴∠HCF＝90°． ∵∠CHN+∠NCH＝90°，∠NCH+∠FCM＝90°， ∴∠CHN＝∠FCM． 在Rt△CNH和Rt△FMC中，