02 专题二：二次函数与线段和最小问题（一） 2022年中考复习二次函数压轴题题型分类突破练习

1．（2021秋•郧阳区期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于C（0，3）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；

（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的面积；如果不存在，请说明理由．

1．解：（1）由题意可设抛物线的函数表达式为y＝a（x+1）（x+3），

将C（0，3）代入得：3＝a（0+1）（0+3），

解得a＝1．

∴抛物线的函数表达式为y＝（x+1）（x+3），即y＝x2+4x+3．

（2）如图1，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA．

∵A（﹣1，0），B（﹣3，0），C（0，3）．

∴BC3，AC．

∵点A、B关于对称轴x＝﹣2对称，

∴PA＝PB．

∴PA+PC＝PB+PC．此时，PB+PC＝BC．

∴点P在对称轴上运动时，PA+PB的最小值等于BC．

∴△APC的周长的最小值＝AC+AP+PC＝AC+BC＝3；

（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，

如图2所示，过M作MF∥y轴，交x轴于点F，过N作NH∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形，

设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN解析式为y＝x+b，

联立得：，

消去y得：x2+3x+3﹣b＝0，

∴NF2＝|x1﹣x2|2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝4b﹣3，

∵△MNF为等腰直角三角形，

∴MN2＝2NF2＝8b﹣6，

∵NH2＝（b﹣3）2，

∴NE2（b﹣3）2，

若四边形MNED为正方形，则有NE2＝MN2，

∴8b﹣6（b﹣3）2，

整理得：b2﹣22b+21＝0，

解得：b＝21或b＝1，

∵正方形面积为MN2＝8b﹣6，

∴正方形面积为162或2．

 

2．（2021秋•湖北期末）如图，已知抛物线C1：y＝﹣x2+4x+1与y轴相交于点C，顶点为D．

（1）求直线CD的解析式；

（2）点P为直线CD左上方抛物线上的一动点过点P作y轴的平行线交直线CD于点Q，当线段PQ取得最大值时，在抛物线的对称轴上找一点G，使△PCG的周长最小，求点G的坐标；

（3）将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2，C2与C1相交于点E，点F为抛物线C1对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形，若存在，请直写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

2．解：（1）∵y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5，

∴D（2，5）．令x＝0，则y＝1，

∴C（0，1）．

设直线CD的解析式为y＝kx+n，

∴

解得：．

∴直线CD的解析式为y＝2x+1．

（2）设P（m，﹣m2+4m+1），则Q（m，2m+1），

∵点P为直线CD左上方抛物线上的一动点，

∴PQ＝（﹣m2+4m+1）﹣（2m+1）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣1）2+1．

∵﹣1＜0，

∴当m＝1时，PQ取得最大值，此时P（1，4）．