01 专题一：二次函数与线段表示、线段最值问题 2022年中考复习二次函数压轴题题型分类突破练习

1．（2020秋•越秀区期末）如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，连接BC． （1）求点C的坐标； （2）已知点P为线段OB上一点（点P与点B不重合），过点P作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于点M，N，且PN＝2PM，求点P的坐标． 1．解：（1）∵二次函数y＝（x+2）2+m的图象与x轴交于点A（﹣1，0）， ∴0＝1+m，解得m＝﹣1， ∴二次函数为y＝（x+2）2﹣1， 当x＝0时，y＝4﹣1＝3， ∴点C的坐标为（0，3）； （2）∵二次函数y＝（x+2）2+m， ∴对称轴为直线x＝﹣2， ∴A（﹣1，0）， ∴B（﹣3，0）， ∴直线BC的解析式为y＝x+3， 设P（x，0）（﹣3＜x＜0）， ∴M（x，（x+2）2﹣1），N（x，x+3）， ∵PN＝2PM， ∴x+3＝2|（x+2）2﹣1|， 当﹣3＜x＜﹣1时，x+3＝﹣2[（x+2）2﹣1]，解得x1＝﹣3（舍去），x2， ∴此时P（，0）， 当﹣1＜x＜0时，x+3＝2[（x+2）2﹣1]，解得x1＝﹣3（舍去），x2， ∴此时P（，0）， 综上，点P的坐标为（，0）或（，0）． 2．（2020秋•江岸区校级期末）已知抛物线yx2﹣2x与x轴交于点O、A两点，顶点为B． （1）直接写出：A点坐标___________，B点坐标___________，△ABO的形状是___________； （2）如图，直线y＝x+m（m＜0）交抛物线于E、F（E在F右边），交对称轴于M，交y轴于N．若EM﹣FN＝MN，求m的值 2．解：（1）∵yx2﹣2x（x﹣2）2﹣2， ∴B（2，﹣2）， 令y＝0，得到x2﹣2x＝0，解得x＝0或4， ∴A（4，0）， ∴OB＝AB＝2，OA＝4， ∴OB2+AB2＝OA2， ∴∠OBA＝90°， ∴△OAB是等腰直角三角形． 故答案为：（4，0），（2，﹣2），等腰直角三角形． （2）如图1中，设M（2，yM），N（0，yN），E（x1，y1），F（x2，y2）， 过F作FP⊥y轴于P，设直线EF交x轴于T， ∵N（0，m），T（﹣m，0）， ∴ON＝OT＝﹣m， ∴∠ONT＝45°， ∴NFx2， 同理，MN＝2，EM（x1﹣2）x1﹣2， ∵EM﹣FN＝MN， ∴x1﹣2x2＝2， ∴x1﹣x2＝4， 设直线EF的解析式为y＝x+m， 由得x2﹣3x﹣m＝0， ∴x1+x26，x1x22m， ∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16， ∴62+4×2m＝16，解得m． 3．（2020•广安）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）． （1）求抛物线的解析式． （2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标． （3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c， 得到 解得， ∴y＝x2﹣2x﹣3． （2）将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3，得y＝﹣3，∴C（2，﹣3）； ∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1． 设P点的横坐标为m（﹣1≤m≤2），则P、E的坐标分别为：P（m，﹣m﹣1），E（m，m2﹣2m﹣3）； ∵P点在E点的上方，PE＝（﹣m﹣1）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+m+2， ＝﹣（m）2， ∵﹣1＜0， ∴当m时，PE的最大值，此时P（，）． （3）存在． 理由：如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K（0，﹣3）， ∵C（2，﹣3）， ∴CK∥x轴，CK＝2， 当AC是平行四边形ACF1D1的边时，可得D1（﹣3，0）． 当AC是平行四边形AF1CD2的对角线时，AD2＝CK，可得D2（1，0）， 当点F在x轴的上方时，令y＝3，3＝x2﹣2x﹣3， 解得x＝1±， ∴F3（1，3），F4（1，3）， 由平移的性质可知D3（4，0），D4（4，0）． 综上所述，满足条件的点D的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（4，0）或（4，0）． 4．（2021•饶平县校级模拟）抛物线y＝ax2﹣ax+b交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于C，直线y＝﹣x+4经过B，C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，P为直线BC上方的抛物线上一点，PD∥y轴交BC于D点，过点D作DE⊥AC于E点．设m＝PDDE，求m的最大值及此时P点坐标； （3）如图2，点N在y轴负半轴上，点A绕点N顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点M处，且∠ANM