01 专题一：二次函数与线段表示、线段最值问题 2022年中考复习二次函数压轴题题型分类突破练习

1．（2020秋•越秀区期末）如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，连接BC．

（1）求点C的坐标；

（2）已知点P为线段OB上一点（点P与点B不重合），过点P作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于点M，N，且PN＝2PM，求点P的坐标．

1．解：（1）∵二次函数y＝（x+2）2+m的图象与x轴交于点A（﹣1，0），

∴0＝1+m，解得m＝﹣1，

∴二次函数为y＝（x+2）2﹣1，

当x＝0时，y＝4﹣1＝3，

∴点C的坐标为（0，3）；

（2）∵二次函数y＝（x+2）2+m，

∴对称轴为直线x＝﹣2，

∴A（﹣1，0），

∴B（﹣3，0），

∴直线BC的解析式为y＝x+3，

设P（x，0）（﹣3＜x＜0），

∴M（x，（x+2）2﹣1），N（x，x+3），

∵PN＝2PM，

∴x+3＝2|（x+2）2﹣1|，

当﹣3＜x＜﹣1时，x+3＝﹣2[（x+2）2﹣1]，解得x1＝﹣3（舍去），x2，

∴此时P（，0），

当﹣1＜x＜0时，x+3＝2[（x+2）2﹣1]，解得x1＝﹣3（舍去），x2，

∴此时P（，0），

综上，点P的坐标为（，0）或（，0）．

2．（2020秋•江岸区校级期末）已知抛物线yx2﹣2x与x轴交于点O、A两点，顶点为B．

（1）直接写出：A点坐标___________，B点坐标___________，△ABO的形状是___________；

（2）如图，直线y＝x+m（m＜0）交抛物线于E、F（E在F右边），交对称轴于M，交y轴于N．若EM﹣FN＝MN，求m的值

2．解：（1）∵yx2﹣2x（x﹣2）2﹣2，

∴B（2，﹣2），

令y＝0，得到x2﹣2x＝0，解得x＝0或4，

∴A（4，0），

∴OB＝AB＝2，OA＝4，

∴OB2+AB2＝OA2，

∴∠OBA＝90°，

∴△OAB是等腰直角三角形．

故答案为：（4，0），（2，﹣2），等腰直角三角形．

（2）如图1中，设M（2，yM），N（0，yN），E（x1，y1），F（x2，y2），

过F作FP⊥y轴于P，设直线EF交x轴于T，

∵N（0，m），T（﹣m，0），

∴ON＝OT＝﹣m，

∴∠ONT＝45°，

∴NFx2，

同理，MN＝2，EM（x1﹣2）x1﹣2，

∵EM﹣FN＝MN，

∴x1﹣2x2＝2，

∴x1﹣x2＝4，

设直线EF的解析式为y＝x+m，

由得x2﹣3x﹣m＝0，

∴x1+x26，x1x22m，

∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，

∴62+4×2m＝16，解得m．

3．（2020•广安）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．

（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，