2.1.1两角和与差的余弦公式 课件——2021-2022学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

复习引入 问题1：我们会求一些特殊角的三角函数值，比如30º、45º、60º角的三角函数值。对于一些非特殊角的三角函数值怎么算呢？比如 cos15°=cos（45°-30°）=cos45°-cos30° ，正确吗? 2.1.1两角和与差的余弦公式 学习目标 1．理解用用两种方法推导两角差的余弦公式的过程 2．由两角差的余弦公式推出两角和的余弦公式，理解化归思想在三角变换中的作用． 3．掌握用两角和与差的余弦公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明． 问题2：那么如何用α、β的正余弦表示cos(α-β) 呢？ 新课学习 设Ox为x轴的非负半轴，∠xOP＝α，|OP|＝r，则点P的坐标(x，y)＝(rcosα，rsinα).将点P顺时针旋转角β，其 对应点为点P′，则|OP′|＝|OP|＝r，∠xOP′＝α－β， 从而点P′的坐标为(rcos(α－β)，rsin(α－β))． 问题2：那么如何用α、β的正余弦表示cos(α-β) 呢？ 新课学习 当α－β∈[0，π]时，如图2.1-2，设α＝∠xOP，β＝∠xOP′，在这两个角的终边上分别取两个单位向量 = a， =b，则∠AOB=α－β就是a与b的夹角. 问题2：那么如何用α、β的正余弦表示cos(α-β) 呢？ 新课学习 根据前面所学的向量知识可知，a，b的数量积为 　　　　　　　a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝cos〈a，b〉. 　　由平面向量基本定理知，a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ) ， 　　则　　a·b＝ (cosα，sinα)·(cosβ，sinβ) ＝cosαcosβ＋sinαsinβ . 　　所以　cos〈a，b〉=cos αcos β＋sin αsin β .　　　　　　　 ① 　　又当α－β ∈[0，π]时，cos〈a，b〉=cos(α－β)， 　　因此cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β . 问题2：那么如何用α、β的正余弦表示cos(α-β) 呢？ 新课学习 对任意的角α，β，总可选取适当的整数k，使得α－β－2kπ∈[－π，π)．记β1＝β＋2kπ， 则β1与β的终边相同， 且α－β1∈[－π，π)，如图2.1-3，从而 0≤|α－ β1|≤π， 则|α－β1 |就是a，b的夹角〈a，b〉． 　　因此　cos〈a，b〉＝cos|