2021-2022学年景泰二中必修二素养提升——正余弦定理的综合问题（湘教版2019必修第二册）

2021-2022学年甘肃省景泰县第二中学必修二素养提升检测（湘教版） 正余弦定理的综合问题（解析版） （测试时间60分钟） 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.（2019·河南安阳一中模拟）钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝(　　) A. 5 B. C. 2 D. 1 【解析】S△ABC＝AB·BCsinB＝×1×sinB＝，∴sinB＝，若B＝45°，则由余弦定理得AC＝1，∴△ABC为直角三角形，不符合题意，因此B＝135°，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2－2×1××＝5，∴AC＝.故选B. 【答案】 B 2.（2020·吉林高三月考）在中，、、分别是角、、的对边，若，，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【解析】由余弦定理可得，即，解得，则，因此，的面积为.故选：D. 【答案】D 3．(2019·东莞二模)已知△ABC的内角分别为A，B，C，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高为(　　) A. B. C. D. 【解析】由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，得7＝AB2＋4－4ABcos60°，即AB2－2AB－3＝0，得AB＝3，得BC边上的高为ABsin60°＝，故选B. 【答案】 B 4.（2020·宁夏贺兰县景博中学高三（文））已知中，角所对的边分别为，若的面积为，则的周长为（ ） A．8 B．12 C．15 D． 【解析】因为的面积为，所以，解得.由余弦定理得，所以，又因为，所以，解得.由余弦定理得，所以，所以的周长为15.故选：C 【答案】C 5．（2020·辽宁辽师大附中高三）在中，，向量 在上的投影的数量为，则( ) A． B． C． D． 【解析】∵向量 在上的投影的数量为，∴．①，∵，∴，∴．②，由①②得，∵为的内角，∴，∴．在中，由余弦定理得 ，∴ 【答案】C 6.（2021银川一中模拟）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a，b，c满足b2＝a2＋c2－ac，若AC＝2，则△ABC面积的最大值为(　　) A. B. 2 C. 3 D. 4 【解析】AC＝2，即b＝2.由b2＝a2＋c2－ac，得12＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac(当且仅当a＝c时取等号)，故ac≤12，cosB＝＝＝，所以sinB＝，S△ABC＝acsinB≤×12×＝3，△ABC面积的最大值为3. 【答案】：C 7.（2019·安徽省怀宁中学高三月考（文））在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为( ) A．9 B．7 C．5 D．13 【解析】：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号. 【答案】A 8． （2022·全国·模拟预测（文））在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积．若三角形的三边分别为a，b，c，则其面积，这里．已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则的面积最大值为（ ）． A． B． C．10 D．12 【解析】依题意，，则， 所以，， 所以的面积最大值是12.故选：D 【答案】D 二、多选题（在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．） 9．（2021·全国·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（       ） A． B．是钝角三角形 C．若，则 内切圆半径为 D．若，则外接圆半径为 【解析】，A正确； ，三角形最大角为锐角，B错误； ，故，， 设内切圆半径为，则，故，C正确； ，，D正确.故选：ACD. 【答案】ACD 10．（2021·河北大名·高一期中）在中，角、，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（       ） A． B．的最小内角是最大内角的一半 C．是钝角三角形 D．若，则的外接圆直径为 【解析】不妨设，，，解得，，． 由正弦定理知，即A正确； ∵，∴最大的内角为，最小的内角为，由余弦定理知，， ，，故，即B正确；∵，∴为锐角，是锐角三角形，即C错误； ∵，∴，∵，∴的外接圆直径，即D错误．故选：AB. 【答案】AB 11．（2021·江苏·盐城市实验高级中学高一期中）在中，边所对的角分别为，若，则（       ） A． B． C． D． 【解析】，则由余弦定理可得， ，，，， 即，，，，则， . 故选：BD. 【答案】BD 12．（2021·全国高三专题练习（文））在中，内角所对的边分别为，，的平分线交于点，且，