8.1.3 向量数量积的坐标运算-2021-2022学年新教材高中数学必修第三册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

8.1.3　向量数量积的坐标运算 学 习 目 标 核 心 素 养 1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算．(重点) 2．能运用向量数量积进行两个向量夹角和模的计算，并能推导平面内两点间的距离公式．(重点、难点) 3．能根据向量的坐标判定两个向量垂直．(重点) 1．通过推导向量数量积的坐标运算及通过求夹角与模，体会逻辑推理素养与数学运算素养．培养学生数学抽象的数学素养． 2．利用向量数量积的坐标公式进行数量积运算，提升数学运算的数学素养. “我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞飞过绝望，不去想他们拥有美丽的太阳，我看见每天的夕阳也会有变化，我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞给我希望……”，如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”，它又能飞多远呢？本节讲解平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示，它使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”，从而可以使几何问题数量化，把“定性”研究推向“定量”研究． 问题　在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a＝(3,2)，b＝(2,1)，则a·b的值为多少？a·b的值与a，b的坐标有怎样的关系？若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b为多少？ 提示　由题意知，a＝3i＋2j，b＝2i＋j， 则a·b＝(3i＋2j)·(2i＋j)＝6i2＋7i·j＋2j2. 由于i2＝i·i＝1，j2＝j·j＝1，i·j＝0， 故a·b＝8. 8＝3×2＋2×1；a·b＝x1x2＋y1y2. 1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 数量积 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即：a·b＝x1x2＋y1y2 向量垂直 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 思考：向量数量积的坐标表示公式有什么特点？应用时应注意什么？ [提示]　公式的特点是“对应坐标相乘后再求和”，在解题时要注意坐标的顺序． 2．三个重要公式 (1)向量的模：a2＝x＋y⇔|a|＝. (2)两点间的距离公式：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ||＝. (3)向量的夹角公式： cos〈a，b〉＝＝. 思考：已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，问a与b夹角θ的范围与坐标运算的数量积的关系式是什么？ [提示]　(1)当θ为锐角或零角⇔x1x2＋y1y2>0； (2)当θ为直角⇔x1x2＋y1y2＝0； (3)当θ为钝角或平角⇔x1x2＋y1y2<0. 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)若a＝(m,0)，则|a|＝m. (　　) (2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b⇔x1x2－y1y2＝0. (　　) (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且〈a，b〉为钝角，则x1y1＋x2y2<0. (　　) [提示]　(1)×.若a＝(m,0)，则|a|＝|m|. (2)×.a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)×.〈a，b〉为钝角，则x1x2＋y1y2<0. [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 2．已知a＝(1，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝(　　) A．5　　 B．4　　　　 C．－2　　 D．－1 D　[a·b＝(1，－1)·(2,3)＝1×2＋(－1)×3＝－1.] 3．已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝________. －　[因为a＝(2,2)，b＝(－8,6)，所以a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4， |a|＝＝2 ，|b|＝＝10. 所以cos〈a，b〉＝＝＝－ .] 4．已知a＝(3，x)，|a|＝5，则x＝________. ±4　[|a|＝＝5，所以x2＝16.即x＝±4.] 向量数量积的坐标运算 【例1】　(1)已知向量a＝(2,3)，b＝(－2,4)，c＝(－1,2)，则a·(b＋c)＝________. (2)已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，求a·b，|3a－b|，(a＋b)·(2a－b)． [思路探究]　(1)利用平面向量数量积的坐标运算公式进行计算． (2)利用平面向量的数量积公式、模的坐标公式计算． (1)12　[因为b＝(－2,4)，c＝(－1,2)， 所以b＋c＝(－2,4)＋(－1,2)＝(－3,6)． 又因为a＝(2,3)， 所以a·(b＋c)＝(2,3)·(－3,6)＝2×(－3)＋3×6＝－6＋18＝12.] (2)[解]　a·b＝1×2＋3×5＝17. 因为3a＝3(1,3)＝(3,9)，b＝(2,5)， 所以3a－b＝(1,4)， 所以|3a－b|＝＝. 因为a＋b＝(3,8)，2a＝(2,6)， 所以2a－b＝(2,6)－(