1.4.1 角平分线的性质与判定（配套word）2021-2022学年八年级下册初二数学【课时A计划】北师大版（安徽）

1.4　角平分线 第1课时　角平分线的性质与判定 知识点1　角平分线的性质 1.如图,∠C＝90°,AD平分∠BAC交BC于点D.若CD＝4 cm,则点D到AB的距离为( C ) A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.不能确定 已知角平分线求点到边的距离→已知角平分线求三角形面积 如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AD平分∠BAC交BC于点D.若BC＝3,且BD∶DC＝5∶4,AB＝5,则△ABD的面积是 　.  2.如图,在△ABC中,AD为△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,DF⊥AC,垂足为F.若AB＝5,AC＝3,DF＝2,则△ABC的面积为　8　.  3.如图,在Rt△ABC中,AC＝8,BC＝6,∠C＝90°,AD是∠CAB的平分线,交BC于点D. (1)求AB的长; (2)求CD的长. 解:(1)在Rt△ABC中,AB＝＝10. (2)过点D作DE⊥AB,垂足为E. ∵DC⊥AC,DE⊥AB,AD平分∠CAB, ∴DE＝DC. 又∵AD＝AD,∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL), ∴AE＝AC＝8,∴BE＝AB－AE＝2. 设CD＝x,可得DE＝x,BD＝6－x. 在Rt△BDE中,BE2+DE2＝BD2, ∴22+x2＝(6－x)2,解得x＝. 知识点2　角平分线的判定 4.在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,则到∠AOB两边距离相等的点是( A ) A.点M B.点N C.点P D.点Q 5.如图,点P到∠AOB的两边的距离相等.若∠POB＝30°,则∠AOB＝　60　°.  第5题图　　　第6题图 6.如图,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,要使DE＝DF,只需添加一个条件,这个条件是:AD是　∠BAC(或∠EDF)　的平分线.  7.如图,AB＝CD,△PAB和△PCD的面积相等,判断OP是否平分∠AOD,并说明理由. 解:OP平分∠AOD. 理由:∵AB＝CD,△PAB和△PCD的面积相等, ∴点P到OA,OD的距离相等,∴OP平分∠AOD. 8.如图,在∠ABC中,小兵借助两把没有刻度且等宽的直尺,按如图所示的方法画出了∠ABC的平分线BP.他这样做的依据是( A ) A.在一个角的内部,到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 9.[广安中考]如图,∠AOE＝∠BOE＝15°,EF∥OB,EC⊥OB于点C.若EC＝1,则OF＝　2　.  10如图,OP平分∠AOB,PM⊥OA于点M,点D在OB上,DH⊥OP于点H.若OD＝4,OP＝7,PM＝3,则DH的长为 　.  11.[教材P30习题1.9第2题改编]如图,在△ABC中,M是BC的中点,MD⊥AB,ME⊥AC,垂足分别是D,E,且BD＝CE.求证:点M在∠BAC的平分线上. 证明:连接AM.在Rt△MDB和Rt△MEC中, ∵BM＝CM,BD＝CE, ∴Rt△MDB≌Rt△MEC(HL),∴MD＝ME, 又∵MD⊥AB,ME⊥AC,∴AM平分∠BAC, ∴点M在∠BAC的平分线上. 12.如图,在△ABC中,点D在BC边上,∠BAD＝100°,∠ABC的平分线交AC于点E,过点E作EF⊥AB,交BA延长线于点F,且∠AEF＝50°,连接DE. (1)求∠CAD的度数; (2)求证:DE平分∠ADC. 解:(1)∵EF⊥AB,∴∠F＝90°. ∵∠AEF＝50°,∴∠FAE＝90°－∠AEF＝40°. ∵∠BAD＝100°,∴∠CAD＝180°－∠BAD－∠FAE＝40°. (2)过点E分别作EM⊥AD,EN⊥BC,垂足分别为M,N. 由(1)知∠FAE＝∠CAD＝40°,∴AE为∠DAF的平分线. ∵EF⊥AB,EM⊥AD,∴EF＝EM. ∵BE平分∠ABC,EF⊥AB,EN⊥BC, ∴EF＝EN,∴EM＝EN, ∴点E在∠ADC的平分线上,即DE平分∠ADC. 13.某课外兴趣小组在进行活动探究时,许老师给出了如下问题:如图1,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠DAB＝60°,∠B与∠D互补,求证:AB+AD＝AC.小米反复探索,不得其解.她想,若将四边形ABCD特殊化,看是否能解决该问题. (1)【特殊情况入手】添加条件:∠B＝∠D,如图2,可证AB+AD＝AC.(请完成此证明) (2)【解决原来问题】受到(1)的启发,在原问题中,添加辅助线,如图3,过点C分别作AB,AD的垂线,垂足分别为E,F.(请补全证明过程) 解:(1)由题意知∠B＝∠D＝90°,∠CAD＝∠CAB＝30°, ∴AB＝AC. (2)由(1)知AE+AF＝AC. ∵AC