1.1.4 等边三角形的判定（配套word）2021-2022学年八年级下册初二数学【课时A计划】北师大版（安徽）

第4课时　等边三角形的判定 知识点1　等边三角形的判定 1.下列三角形中,不是等边三角形的是( B ) A.有一个角为60°的等腰三角形 B.有两个外角相等的等腰三角形 C.三个外角都相等的三角形 D.腰上的高也是这条腰上的中线的等腰三角形 2.已知∠AOB＝30°,点P在∠AOB的内部,点P1与点P关于OB对称,点P2与点P关于OA对称,则P1,O,P2三点构成的三角形是( C ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.无法确定 3.小明设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可,如图1,衣架杆OA＝OB＝16 cm.若衣架收拢时,∠AOB＝60°,如图2,则此时A,B两点之间的距离是　16　cm.  4.如图,AC与BD相交于点O.若OA＝OB,∠A＝60°,且AB∥CD.求证:△OCD是等边三角形. 证明:∵OA＝OB,∠A＝60°, ∴△OAB是等边三角形, ∴∠B＝∠AOB＝∠A＝60°. ∵AB∥CD,∴∠C＝∠A＝60°,∠D＝∠B＝60°. 又∵∠COD＝∠AOB＝60°, ∴∠COD＝∠C＝∠D,∴△OCD是等边三角形. 知识点2　等边三角形的性质与判定综合 5.如图,在等边△ABC的边AB,AC上分别截取AD＝AE,则△ADE( C ) A.不是等边三角形 B.不一定是等边三角形 C.一定是等边三角形 D.无法判断 6.如图,等边△ABC的周长是12,P是三角形内的任意一点,PD∥AB,PE∥BC,PF∥AC,则PD+PE+PF的值是( C ) A.12 B.8 C.4 D.3 7.[芜湖期中]如图,△ABC是等边三角形,D为BC的延长线上一点,CE平分∠ACD,CE＝BD.求证:△ADE为等边三角形. 证明:∵△ABC是等边三角形, ∴∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°,AB＝AC, ∴∠ACD＝180°－∠ACB＝120°. ∵CE平分∠ACD,∴∠ACE＝∠DCE＝60°, ∴∠B＝∠ACE. 在△ABD和△ACE中, ∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴AD＝AE,∠BAD＝∠CAE, ∴∠BAD－∠CAD＝∠CAE－∠CAD,即∠DAE＝∠BAC＝60°, ∴△ADE为等边三角形. 知识点3　含30°角的直角三角形 8.如图,一棵树在一次强台风中从离地面4米处折断倒下,倒下部分与地面成30°角,则这棵树在折断前的高度为( D ) A.6米 B.8米 C.10米 D.12米 9.图1所示的是某地铁2号线入口的双翼闸门.如图2,当它的双翼展开时,双翼边缘的端点A与B之间的距离为8 cm,双翼的边缘AC＝BD＝58 cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°.当双翼收起时,求可以通过闸机的物体的最大宽度. 解:过点A作AE⊥CP于点E,过点B作BF⊥DQ于点F. 在Rt△ACE中,∠ACE＝30°, ∴AE＝×58＝29(cm).同理可得BF＝29 cm. 又∵点A,B之间的距离为8 cm, ∴通过闸机的物体的最大宽度＝29+8+29＝66(cm), 即当双翼收起时,可以通过闸机的物体的最大宽度为66 cm. 10.如图,点D在BC上,点E在AD上,BE＝AE＝CE,并且∠BED＝∠CED＝60°.下列结论:①△ABC是等边三角形;②BD＝CD;③BE平分∠ABC;④AD⊥BC.其中正确的结论有( D ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第10题图　　　第11题图 11.[淄博中考]如图,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC.若AN＝1,则BC的长为( B ) A.4 B.6 C.4 D.8 12.如图,有一张简易的活动小茶桌,现测得OA＝OB＝30 cm,OC＝OD＝50 cm,两条桌脚与地面所夹的锐角为30°,则桌面离地面的高度为　40　cm.  13.如图,在△AOP中,AO＝10,P是射线ON上的一个动点(即点P可在射线ON上运动),∠AON＝60°. (1)当OP＝　10　时,△AOP为等边三角形;  (2)当OP＝　5或20　时,△AOP为直角三角形.  14.如图,在等边△ABC中,AB＝9 cm,点P从点C出发沿CB边向点B以2 cm/s的速度运动,点Q从点B出发沿BA边向点A以5 cm/s的速度运动.已知P,Q两点同时出发,它们运动的时间为t s. (1)当点Q在AB上运动时, ①你能用t表示BP和BQ的长度吗?请你表示出来. ②经过几秒,△PBQ为等边三角形? (2)若P,Q两点都按顺时针方向沿△ABC三边运动,请问经过多长时间,点P与点Q第一次相遇,相遇在△ABC的哪条边上? 解:(1)①∵△ABC为等边三角形,∴B