6.2.3组合6.2.4组合数（基础知识+基本题型）（含解析）-【一堂好课】2021-2022学年高二数学下学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

6.2.3 组合 6.2.4组合数 （基础知识+基本题型） 知识点一 组合 一般地，从个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同的元素中取出个元素的一个组合. 提示 （1）组合要求个元素是不同的，被取出的个元素也是不同的，即从个不同元素中进行次不放回地抽取. （2）组合中取出的个元素没有位置的要求，无序性是组合的本质. （3）根据组合的定义，如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合.只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合. 辨析 区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无顺序，有顺序就是排列问题，而无顺序就是组合问题，而要判断它是否有顺序的方法是将元素取出来，交换元素的顺序看对结果有无影响.有影响就是“有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题. 拓展 由于组合与顺序无关，故利用“顺序后移法”时箭头向后逐步推进，且写出的一个组合不可交换益，如写出后，不必要交换位置为，因为它们是同一组合.画“树形图”时，应注意顶层及下枝的排列思路，防止重复或遗漏. 知识点二 组合数与组合数公式 1．组合数的定义 从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示. 提示 （1）组合数与组合的区别：组合是指“从个不同元素中取出个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数”，它是一个自然数. （2）组合数定义中要求，且. 2．组合数公式的推导 一般地，求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑： 第1步，求从个不同元素中取出个元素的组合数； 第2步，求每一个组合中个元素的全排列数. 根据分步乘法计数原理，得到 因此，这里，并且，这个公式叫做组合数公式. 因为，所以组合数公式还可以表示为. 提示 （1）组合数公式的推导是依据分步乘法计数原理，遵循从特殊到一般的原则，将求从个不同元素中取出个元素的排列数分成先求其“组合数”后求每一个组合中的“全排列数”两步来完成的，这样就清楚地揭示出了组合与排列的对应关系，从而利用这种对应关系和排列数公式得出了组合数公式. （2）组合数公式的推导方法是一种重要的钥匙方法.在以后学习排列、组合的综合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题. 3．组合数公式 （1）. （2）. （3）规定. 提示 （1）的分子是连续个自然数的乘积，即由开始递减的连续个自然数的乘积，分母是个到的连续自然数的乘积，该形式常用于计算求值. （2），该形式常用于化简与证明. 知识点三 组合数的两个性质 1． （1）该性质反映了组合数的对称性.其组合意义：从个不同元素中每取出个元素，就剩余个元素，因此从个不同元素中取出个元素的方法，与从这个不同元素中取出个元素的方法是一一对应的，也就是说，从个不同元素中取出个元素的每一个组合都相应地对应着从这个不同元素中取出个元素的每一个组合，反过来也一样.因此从个不同元素中取出个元素的组合数与这个不同元素中取出个元素的组合数相等，即. （2）计算时，若，则通常不直接计算，而改为计算. 2． . （1）该性质的组合意义：在确定从个不同元素中取出个元素的方法时，对于某一元素，只存在着取与不取两种可能.如果能取这一元素，那么需从剩下的个元素中再取出个元素，所以共有种取法；如果不取这一元素，那么需从剩下的个元素中取出个元素，所以共有种取法.由分类加法计数原理，得. （2）公式特点：等号左边下标是，等号右边下标都是，相差；等号左边上标与等号右边上标中的一个一样，都是，比另一个大（另一个是）. 提示 利用组合数性质解题时要注意以下两点： （1）公式中的上标是自然数，下标是正整数，且上标不大于下标； （2）要善于观察题目的特征，灵活运用组合数的性质，使解题过程简便、流畅. 归纳 要注意公式的正用、逆用、变形用，尤其是当都是具体数时的应用．正用时是将组合数拆开；逆用时则是“合二为一”，即将化为；变形用时则为或．这样为某些项互相抵消提供了方便，在具体问题中要灵活运用． 知识点四、纯组合问题常见题型 （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型： “含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． 如：现从5位男同学、4位女同学中选出5名代表，若男甲、女A都必须当选，有多少种不同的选法?由于男甲、女A必须当选，只需从剩下7人中任选3人即可满足题目的要求，故有种不同的选法． （2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型： 解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．