6.2.1排列6.2.2排列数（同步课件）【一堂好课】2021-2022学年高二数学下学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

人教A版2019 选择性必修第三册 第六章 计数原理 6.2 排列与组合 6.2.1 排列 6.2.2 排列数 1 在上节例8的解答中我们看到，用分步乘法计数原理解决问题时，因做了一些重复性工作而显得烦琐．能否对这类计数问题给出一种简捷的方法呢?为此，先来分析两个具体的问题． 问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法? 此时，要完成的一件事是“选出2名同学参加活动，1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动”，可以分两个步骤： 第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人，有3种选法； 第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从剩下的2人中去选，有2种选法． 这6种不同的选法如图6.2-1所示． 如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，那么问题可叙述为： 从3个不同的元素a，b，c中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法? 所有不同的排列是 ab，ac，ba，bc，cb，ca． 问题1中的“顺序”是什么？ 问题2从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数? 显然，从4个数字中，每次取出3个，按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，就得到一个三位数．因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数．可以分三个步骤来解决这个问题： 第1步，确定百位上的数字，从1，2，3，4这4个数字中任取1个，有4种方法； 第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法； 第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法． 根据分步乘法计数原理，从1，2，3，4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，不同的排法种数为 因而共可得到24个不同的三位数，如图6.2-2所示． 由此可写出所有的三位数： 123，124，132，134，142，143， 213，214，231，234，241，243， 312，314，321，324，341，342， 412，413，421，423，431，432． 问题2中的“顺序”是什么？ 上述问题1，2的共同特点是什么?你能将它们推广到一般情形吗? 问题1和问题2都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序排成一列的方法数． 根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同．例如，在问题1中，“甲乙”与“甲丙”的元素不完全相同，它们是不同的排列；“甲乙”与“乙甲”虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．又如，在问题2中，123与134的元素不完全相同，它们是不同的排列；123与132虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列． 例1 某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛? 分析：每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选取2支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列． 例2（1）一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法? （2）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法? 分析：3名同学每人从5盘不同的菜中取1盘菜，可看作是从这5盘菜中任取3盘，放在3个位置(给3名同学)的一个排列；而3名同学每人从食堂窗口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看成一个排列． 前面给出了排列的定义，下面探究计算排列个数的公式． 探究 第1位 第2位 图6.2-3 第1位 第2位 图6.2-3 现在来计算有多少种填法．完成“填空”这件事可以分为两个步骤完成： 第1位 第2位 第3位 第m位 …… 填空可以分为m个步骤完成： …… 你能说一下排列数公式的特点吗？ 特别地，我们把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列． 例4 用0～9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数? 分析：在0～9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素．一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题． 百位 十位 个位 图6.2-5 解法1：如图6.2-5所示，由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成： 百位 十位 个位 百位 十位 个位 百位 十位 个位 0 0 对于例4这类计数问题，从不同的角度就有不同的解题方法．解法1根据百位数字不能是0的要求，按分步乘