6.2.1排列6.2.2排列数（基础知识+基本题型）（含解析）-【一堂好课】2021-2022学年高二数学下学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

6.2.1 排列 6.2.2排列数 （基础知识+基本题型） 知识点一 排列 一般地，从个不同元素中取出（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列． 拓展 对“排列”的理解 （1）两个内容：排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”． （2）元素不同：给出的个不同元素互不相同，且抽取的个元素是从个元素中不重复的抽取，因为则个元素也是互不相同的．在研究排列问题时，是从一些不同元素中任取部分不同元素，这里既没重复的元素，也没有重复抽取同一元素的情况． （3）顺序一定：“一定的顺序”就是与位置有关，不考虑顺序就不是排列，只有元素完全相同，并且元素的排列顺序完全相同时，才是同一排列．元素完全相同，顺序不同及元素部分相同，顺序相同，都是不同的排列． 知识点二 排列数与排列数公式 1．排列数的定义 从个不同元素中取出（）个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示． 辨析 排列是指“从个不同元素中取出（）个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一件事．排列数是指“从个不同元素中取出（）个元素的所有不同排列的个数”，它是一个自然数． 2．排列数公式 （1）排列数公式1及其推导过程 一般情况下，求的值可以按依次填个空位来考虑： 假定有排好顺序的个空位，从个元素中任意取出个去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就对应一个排位．因此，所有不同填法的种数就是排列数 填空可分为个步骤： 第1步，从个不同元素中任取一个占据第一个位置，共有种不同的选法； 第2步，从剩下的个不同元素中任取一个占据第二个位置，共有种不同的选法； 第3步，从剩下的个不同元素中任取一个占据第三个位置，共有种不同的选法； …… 第步，从剩下的个不同元素中任取一个占据第个位置．共有种不同的选法． 根据分步乘法计数原理．得到公式,其中,且，这个公式叫做排列数公式． 提示 ①使用范围：上述公式在的情况下成立，当时无意义． ②公式特点：从开始，依次递减1，且连乘m个，最后一个元素是，共m个连续的正整数相乘． (2)全排列的定义及其公式 个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列．这时公式中,即有． 提示 ⑴个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到的连乘积．正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示，即． ⑵)规定． ⑶排列数公式的应用 (,且) 提示 排列数公式的应用 ⑴排列数的第一个公式适用于具体计算以及解当较小时的含有排列数的方程和不等式． ⑵排列数的第二个公式适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等问题． 在具体运用时，应注意先提取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件“,且”的运用． 知识点三 排列的应用 解排列应用题的基本思想： 提示 解简单的排列应用题必须先认真分析、理解题意，看能否把问题化归为排列问题，即是否有顺序．如果是的话，再进一步分析，这里个不同的元素指的是什么，以及从个不同的元素中任取个元素的每一种排列对应的是什么事情，最后才能运用排列数公式求解． 类型一、与排列数有关的运算 例题1 解方程：． 【解】根据原方程，x应满足解得，.根据排列数公式，原方程化为．因为，两边同除以，得．即，解得或（因为x为整数，所以应舍去）．所以原方程的解为． 【点评】由排列数公式先转化为关于x的方程，再由隐含条件可解方程. 例题2 证明：． 【解】 证法一：，. 证法二：表示从个元素中取出m个元素的排列个数，其中不含元素的有个，含有的可这样进行排列：先排，有m种排法，再从另外n个元素中取出个元素排在剩下的个位置上，有种排法，故含有的排法有种. . 【点评】在证明题中往往含有参数，会给问题的解答造成困难，一定要熟练掌握排列数的基本运算公式，尤其要重点掌握. 例题3 化简下列各式： （1）（提示：）； （2）． 【解析】显然，如果直接利用阶乘公式来计算，由于n的动态性，且无法提取公因式，因此难以计算．注意到这是n项的和，我们联想数列中的“拆项相消”的求和方法，能否用它来求解呢？再观察到这里的阶乘之外还有一个n，而，且．于是便顺利地求其和． 【解】（1）原式； （2）， . 【点评】抓住阶乘的运算规律（连续的n个正整数的积）是在化简与阶乘有关的代数式时，找到有效解题途径的前提.只要善于观察、分析所给代数式的结构特征，也就能迅速地找到解题的切入点、简捷的解题方法. 类型二、排列的定义及其理解 例4．判断下列问题是否是排列问题，并说明理由. （1）从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加活动A，另一名同学参加活动B； （2）从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动； （3）从所有互质的三位数中选出两个数求其和； （4）从所有互