2.1平均变化率与瞬时变化率（讲义+典型例题+小练）-2021-2022学年高二数学 北师大版（2019）选择性必修第二册

2.1平均变化率与瞬时变化率（讲义+典型例题+小练） 一、平均变化率 设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率； 例1：1．若函数，当时，平均变化率为2，则等于（       ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用平均变化率的公式求解. 【详解】 解：由题得.故选：D 2．求函数y＝x3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率. 【答案】3＋3x0·Δx＋(Δx)2 【解析】 【分析】 利用函数的解析式求出区间两个端点的函数值；利用平均变化率公式求出即可. 【详解】 当自变量从x0到x0＋Δx，函数的平均变化率为 ＝ ＝ ＝ ＝3＋3x0·Δx＋(Δx)2. 举一反三： 1．求函数在区间和上的平均变化率. 【答案】在区间和上的平均变化率分别为和. 【解析】 【分析】 根据题意，由平均变化率的定义求出函数在两个区间上的平均变化率，即可得答案． 【详解】 解：根据题意，函数， 在区间，的平均变化率为， 在区间，的平均变化率为． 2．小球在光滑斜面上向下滚动，从开始滚动算起时间t内所经过的距离为，求小球在时间段内的平均速度. 【答案】 【解析】 【分析】 利用平均速度的定义直接可求. 【详解】 因为小球在t内所经过的距离为， 所以在时间段内的平均速度为. 3．如图，直线l为经过曲线上点P和Q的割线． (1)若，，求l的斜率； (2)当点Q沿曲线向点P靠近时，l的斜率变大还是变小？ 【答案】(1) (2)斜率变大 【解析】 【分析】 （1）直接根据两点的斜率公式计算可得； （2）根据直线的倾斜角的变化及直线的斜率与倾斜角的关系判断即可； (1) 解：因为，，所以； (2) 解：当沿曲线向点靠近时，直线的倾斜角（锐角）在变大，又，所以直线的斜率变大了； 2． 瞬时变化率 设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；当、△y 都趋向0时。比值称为函数在点到之间的平均变化率； 例2：1．求函数在处的瞬时变化率. 【答案】 【解析】 【分析】 根据瞬时变化率的定义计算可得. 【详解】 函数在处的瞬时变化率为: . 举一反三： 1．根据所给的运动方程，先写出物体在时间段和上的平均速度，再让趋于0，求出它在处的瞬时速度． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 先利用公式计算出平均速度，再求极限得到瞬时速度. (1) 物体在时间段的平均速度为，物体在时间段的平均速度为，当时，，，故它在处的瞬时速度为. (2) 物体在时间段的平均速度为，物体在时间段的平均速度为，当时，，，故它在处的瞬时速度为. 2．已知自由落体运动的方程为（g为常数），求： (1)落体在到这段时间内的平均速度； (2)落体在s这一时刻的瞬时速度. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）根据平均速度公式计算； （2）首先求落体在这段时间的平均速度，当趋近于0时，求平均速度的极限，即落体在s这一时刻的瞬时速度. (1) 落体在到这段时间内的平均速度是； (2) 落体在这段时间的平均速度是， 当无限趋近于0时，平均速度趋近于， 所以落体在s这一时刻的瞬时速度时. 巩固提升 一、单选题 1．设函数，当由1变到10时，的平均变化率为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由平均变化率的定义可得，代入即得解 【详解】 当由1变到10时，的平均变化率为. 故选：A 2．一物体的运动方程是，则在这段时间内的平均速度是（       ） A．0.4 B．2 C．0.3 D．0.2 【答案】B 【解析】 【分析】 由函数平均变化率的定义即可求得答案. 【详解】 由题意，． 故选：B. 3．已知函数的图像上一点及邻近一点，则等于（       ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意分别求出，然后求出比值即可. 【详解】 因为，所以，，所以． 故选：B． 4．自由落体运动的公式为，若，则下列说法正确的是（       ） A．是在0~1s这段时间内的速度 B．是1s到s这段时间内的速度 C．是物体在s这一时刻的速度 D．是物体从1s到s这段时间内的平均速度 【答案】D 【解析】 【分析】 代入解析式，化简，由平均速度的概念判断即可. 【详解】 由平均速度的概念可知，，表示1s到这段时间内的平均速度，故D正确. 故选：D 5．函数，在[0，2]上的平均变化率分别记为，，则下列结论正确的是（       ） A． B． C． D．，的大小无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】 根据平均变化率的定义计算比较即可. 【详解】 ，，故. 故选：A. 6．已知物体做自由落体的运动方程为，且无