2.3导数的计算（讲义+典型例题+小练）-2021-2022学年高二数学北师大版(2019)选择性必修第二册

2.3导数的计算（讲义+典型例题+小练） 基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式： ①；②；； ③； ④ ⑤ ⑥； ⑦； ⑧ 例：1．已知在一次降雨过程中，某地降雨量（单位：mm）与时间t（单位：min）的函数关系可表示为，则在时的瞬时降雨强度为（       ）mm/min. A． B． C．20 D．400 【答案】B 【解析】 【分析】 对题设函数求导，再求时对应的导数值，即可得答案. 【详解】 由题设，，则， 所以在时的瞬时降雨强度为 mm/min. 故选：B 2．设是定义在R上的可导函数，若（为常数），则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据导数的定义即可求解. 【详解】 . 故选：C. 3．有下列结论： ①；             ②； ③；             ④． 其中正确的有（       ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】 【分析】 由基本初等函数的导数公式即可求得答案. 【详解】 ①，正确； ②，错误； ③，错误； ④，正确． 故选:C． 4．求下列函数在指定点处的导数． (1)，； (2)，． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）先求出函数的导数，将代入，即可求出结果； （2）先求出函数的导数，将代入，即可求出结果. (1) 解：因为，所以， 所以. (2) 解：因为，所以， 所以. 5．用不等式推理或借助计算机，比较函数和增长的快慢. 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】 求得函数和导数，结合二次函数的性质，得到其导数的大小关系，即可求解. 【详解】 由函数，可得，又由函数，可得， 令， 令，即，解得， 当时，，可得，此时函数的增长更快； 当时，，可得，此时的增长更快； 举一反三： 1．若函数，则等于（       ） A． B．10 C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出函数的导数，再将x=1代入即可求得答案. 【详解】 ∵，∴． 故选：C. 2．曲线在点处的切线方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出函数的导函数，进而根据导数的几何意义求出切线的斜率，然后求出切线方程. 【详解】 依题意得，当时，，即切线的斜率为2，故切线方程为，即. 故选：B． 3．等于（       ） A． B．1 C．0 D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由常数的导数为0即可求得答案. 【详解】 由题意，. 故选：C. 4．已知f (x)=cos x，g (x) = x，则关于x的不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 由题可得，利用正弦函数的性质即求. 【详解】 由题可得，即， 又， 所以， 所以， ∴原不等式的解集为. 故答案为： 5．某质点的运动方程是，求该质点在时的速度. 【答案】27 【解析】 【分析】 根据导数的运算法则，代值计算即可. 【详解】 因为质点的运动方程是，故质点的速度关于时间的函数关系为：， 故当时，. 故答案为：. 6．求下列函数的导数： (1); (2) ; (3)； (4) . 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解析】 【分析】 （1）根据常函数的求导公式，即可求出结果； （2）根据指数函数的求导公式，即可求出结果； （3）根据幂函数的求导公式，即可求出结果； （4）利用余弦二倍角公式化简，再根据余弦函数的求导公式，即可求出结果； (1) 解:因为，所以. (2) 解:因为，所以，即. (3) 解:因为 ，所以，即. (4) 解:因为，所以. 巩固提升 一、单选题 1．函数在点处的切线斜率为（       ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】 【分析】 先判断点是否在上，再求函数导数，进而得，即可求得答案. 【详解】 由，可得点在上 可得函数在点处的切线斜率为2 故选：D. 2．已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 化简函数的解析式，利用基本初等函数的导数公式可求得结果. 【详解】 因为，因此，. 故选：D. 3．函数在和处的导数的大小关系是（       ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】 求出函数导数即可比较. 【详解】 ，，所以，即. 故选：A. 4．已知函数，则等于（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 先对函数求导，然后求出即可 【详解】 由，得， 所以， 故选：D 5．函数在处的导数等于（       ） A．0 B． C．1 D．e 【答案】B 【解析】 【分析】 利用导数公式求解. 【详解】 因为函数， 所以， 所以， 故选；B 6．下列结论正确