2.7导数的应用（讲义+典型例题+小练）-2021-2022学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

2.7导数的应用（讲义+典型例题+小练） 1. 基本方法： （1）函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y＝f（x）在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y＝f（x）为这个区间内的增函数；如果在这个区间内<0，那么函数y＝f（x）为这个区间内的减函数. （2）用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f（x）的导数f′（x）. ②令f′（x）＞0解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令f′（x）＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间. （3）判别f（x0）是极大、极小值的方法：若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值. （4）求函数f（x）的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数f′（x）. ②求方程f'（x）＝0的根. ③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 检查f'（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值. 2、基本思想：学习的目的，就是要会实际应用，本讲主要是培养学生运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力. 解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数. 把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再化为常规问题，选择合适的数学方法求解. 根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化区间，构造相应的函数关系，是这部分的主要技巧． 知识当回归于生活，在现实生活中，有很多时候我们需要用到最大、最小。这时就是导数显身手的时候了。 在现实生活中我们可以利用导数实现最优化的选择。 典型例题 1．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为.已知贷款的利率为，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为，，若使银行获得最大收益，则的取值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 将银行收益表示为关于的函数的形式，利用导数可确定最大值点，即所求的取值. 【详解】 若存款利率为，则存款量是，银行支付的利息是，获得的贷款利息是，银行的收益是， 则，令得：或（舍去）. 当时，；当时，. 当时，取得最大值，即当存款利率为时，银行获得最大收益. 故选：B. 2．如图，某校园有一块半径为20 m的半圆形绿化区域（以为圆心，为直径），现对其进行改建，在的延长线上取点D，，在半圆上选定一点C，改建后绿化区域由扇形区域和三角形区域组成，设.若改建后绿化区域的面积为，则为______rad时，改建后的绿化区域面积取得最大值. 【答案】 【解析】 【分析】 先求出绿化区域面积的表达式，结合导数求解最值. 【详解】 ，， 由，当时，，为增函数； 当，，为减函数，所以当时，取得最大值. 故答案为：. 3．如图，有甲、乙两个工厂，甲厂位于笔直河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，位于离河岸40 km的B处，BD垂直于河岸，垂足为D且D与A相距50 km．两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂铺设水管的费用分别为每千米3a元和5a元，问：供水站C建在岸边何处才能使铺设水管的费用最省？ 【答案】供水站C建在岸边A、D之间距甲厂20 km处. 【解析】 【分析】 根据题意建立数学模型，通过适当设定变元，构造相应的函数关系，通过求导，求出最值，可确定供水站的位置. 【详解】 根据题意可知点C，在线段AD上某一适当位置时，才能使总运费最省，设C点距D点 x km，则BD=40，AC=50－x, ∴， 设铺设水管的总费用为y元，则 ， ∴， 令，可得， 在上，y 只有一个极小值点，根据实际意义，函数在(km)处取得最小值， 此时(km), 故供水站C建在岸边A、D之间距甲厂20 km处，能使铺设水管的费用最省. 举一反三 1．某一学习兴趣小组对学校超市某种商品的销售情况进行了调研，通过大量的数据分析，发现该商品每日的销售量（百件）与销售价格（元/件）满足，现已知该商品的成本价为2元/件，则当时，超市每日销售该商品所获得的最大利润为__________元. 【答案】500 【解析】 【分析】 求出利润的函数表达式,利用导数求其单调性,从而得出最大值. 【详解】 设超市每日销售该商品所获得的最大利润为 . 则 故 当时;当时 故在单调递增,在单调递减; 故当时, 取得最大值 故超市每日销售该商品所获得的最大利润为500元. 故答案为: 50