专题7.3复数的三角表示(题型精讲）-2021-2022学年高一数学金典同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）

考点1. 复数的代数表示法及其几何意义 【知识点的知识】 1、复数的代数表示法 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴,x轴的单位是1,y轴的单位是i,实轴与虚轴的交点叫做原点,且原点(0,0),对应复数0.即复数z=a+bi→复平面内的点z(a,b)→平面向量. 2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外,还要注意: (1)|z|=|z﹣0|=a(a>0)表示复数z对应的点到原点的距离为a; (2)|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离. 3、复数中的解题策略: (1)证明复数是实数的策略: ①z=a+bi∈R⇔b=0(a,b∈R);②z∈R⇔=z. (2)证明复数是纯虚数的策略: ①z=a+bi为纯虚数⇔a=0,b≠0(a,b∈R); ②b≠0时,z﹣=2bi为纯虚数;③z是纯虚数⇔z+=0且z≠0. 例题精讲 【例题1】 (2022·吉林吉林·模拟预测(文))若复数(,),则把这种形式叫做复数z的三角形式,其中r为复数z的模,为复数z的辐角,则复数的三角形式正确的是( ) A. B. C. D. 【例题2】 (2021·全国·高一课时练习)下列各式中已表示成三角形式的复数是( ). A. B. C. D. 【例题3】 (2021·全国·高一课时练习)已知的三角形式为,则的三角形式是( ). A. B. C. D. 【例题4】 (2022·浙江省浦江中学高三期末)设,则在复平面内z对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【例题5】 (多选题)(2022·山西·临县第一中学高三期末)已知复数,是的共轭复数,则下列结论正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 【例题6】 (2022·上海·复旦附中高二期末)已知复数､满足,若和的幅角之差为,则_. 【例题7】 (2021·全国·高一课时练习)求复数的模与辐角. 【例题8】 (2022·湖南·高一课时练习)如图,已知平面内并列的三个全等的正方形,利用复数证明. 【例题9】 (2019·全国·高二课时练习)任何向量的坐标是_(选填“多值的”或“唯一的”),一般地,它可以用基本单位向量和表示为_. 举一反三 【变式1】 (2022·山西怀仁·高三期末(理))关于复数(a,,为虚数单位),下列说法正确的是( ) A.若则 B.若为的共轭复数,则 C.复数的虚部为 D.若,则在复平面内对应的点的坐标为 【变式2】 (2022·山西怀仁·高三期末(文))复数z满足,则对应复平面内的点的坐标为( ) A. B. C. D. 【变式3】 (2021·全国·高一课时练习)在复平面上,A、B表示复数、对应的点,若,则_. 【变式4】 (2021·全国·高一课时练习)设复数,那么的共轭复数的代数形式是_. 【变式5】 (2021·全国·高一课时练习)复数的三角形式是_. 【变式6】 (2022·湖南·高一课时练习)复数经过次乘方后,所得的幂等于它的共轭复数,求的值. 【变式7】 (2022·湖南·高一课时练习)下列复数是不是三角形式?如果不是,把它们表示成三角形式. (1); (2); (3); (4). 【变式8】 (2021·全国·高一课时练习)在复平面内,把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转,求与所得的向量对应的复数(用代数形式表示). 【变式9】 (2021·全国·高一课时练习)已知复数. (1)求及; (2)当复数z满足,求的最大值. 【变式10】 (2022·湖南·高一课时练习)如图,向量与复数对应,把按逆时针方向旋转120°,得到.求向量对应的复数(用代数形式表示). 【变式11】 (2022·湖南·高一课时练习)计算: (1); (2). 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! $ 考点1. 复数的代数表示法及其几何意义 【知识点的知识】 1、复数的代数表示法 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量． 2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意： （1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a； （2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离． 3、复数中的解题策略： （1）证明复数是实数的策略： ①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔＝z． （2）证明复数是纯虚数的策略： ①z＝a+bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）； ②b≠0时，z﹣＝2b