专题10 重点与难点兼备的函数导数题-备战2022年高考数学命题意图揭秘（江苏，山东等新高考地区专用）

专题10 重点与难点兼备的函数导数题 一、真题展示 1.(2020新高考山东卷T6)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) ( ) A. 1.2天 B. 1.8天 C. 2.5天 D. 3.5天 2.(2020新高考山东卷T8)若定义在的奇函数f(x)在单调递减,且f(2)=0,则满足的x的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.(2020新高考山东卷T21).已知函数. (1)当时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积; (2)若f(x)≥1,求a的取值范围. 4.(2021新高考Ⅰ卷T7)若过点可以作曲线的两条切线,则 A. B. C. D. 5.(2021新高考Ⅰ卷T13)已知函数是偶函数,则 1 . 6.(2021新高考Ⅰ卷T15)函数的最小值为 1 . 7.(2021新高考Ⅰ卷T22)已知函数. (1)讨论的单调性; (2)设,为两个不相等的正数,且,证明:. 8. (2021新高考Ⅱ卷T7) 已知,,,则下列判断正确的是( ) A. B. C. D. 10. (2021新高考Ⅱ卷T14)写出一个同时具有下列性质①②③的函数_. ①;②当时,;③是奇函数. 11. (2021新高考Ⅱ卷T16)已知函数,函数的图象在点和点的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则取值范围是_. 12. (2021新高考Ⅱ卷T22)已知函数. (1)讨论的单调性; (2)从下面两个条件中选一个,证明:有一个零点 ①; ②. 二、命题意图揭秘 从近两年的新高考试题来看,函数与导数是高考中的重点与难点,一般有三道左右的客观题,一道解答题,客观题考查的热点是函数的性质、函数的应用、函数与方程、用导数研究曲线的切线、用导数研究函数的极值最值与零点.解答题主要考查利用函数研究函数的性质及零点与不等式证明问题,难度一般比较大,通常位于第21或22题.2020年新高考卷客观题分别考查了函数的应用、奇偶性与单调性,解答题考查了 切线问题与不等式恒成立问题;2021年新高考Ⅰ卷客观题分别考查了切线、奇偶性、最值问题,解答题考查了函数单调性与不等式证明;新高考Ⅱ卷客观题分别考查了比较大小、函数的奇偶性、周期性及切线问题,解答题考查了函数单调性及零点问题,函数图象的识别、分段函数及函数与方程这两年没有考查,2022年考查的可能性比较大,解答题依然会考查单调性、零点及不等式证明等热点问题. 三、重点知识与方法整合 1.单调区间是定义域的子集,故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示,如有多个单调区间应分开写,不能用并集符号“∪”连接,也不能用“或”连接. 若两个简单函数的单调性相同,则它们的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则它们的复合函数为减函数. 函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u)和u=g(x)的单调性的关系是“同增异减”. 分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值. 2. 利用单调性求参数,一般视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数;需注意若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;利用函数单调性比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决. 3. 在求解与函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.一般步骤: 第一步:(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性; 第二步:(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式; 第三步:(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”,转化成一般的不等式或不等式组;第四步:(求解)解不等式或不等式组确定解集; 4. 求函数最值的五种常用方法及其思路: (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值. (2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值. (3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. (4)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值. (5)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求